20200913 第 12 章 多路查找树

第 12 章多路查找树

12.1 二叉树与 B 树

12.1.1 二叉树的问题分析

二叉树的操作效率较高， 但是也存在问题, 请看下面的二叉树

二叉树需要加载到内存的， 如果二叉树的节点少， 没有什么问题， 但是如果二叉树的节点很多(比如 1 亿)， 就存在如下问题:

• 问题 1： 在构建二叉树时， 需要多次进行 i/o 操作(海量数据存在数据库或文件中)， 节点海量， 构建二叉树时，速度有影响
• 问题 2： 节点海量， 也会造成二叉树的高度很大， 会降低操作速度

12.1.2 多叉树

1. 在二叉树中， 每个节点有数据项， 最多有两个子节点。 如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，就是多叉树（multiway tree）
2. 后面我们讲解的 2-3 树， 2-3-4 树就是多叉树， 多叉树通过重新组织节点， 减少树的高度， 能对二叉树进行优化。
3. 举例说明(下面 2-3 树就是一颗多叉树)

12.1.3 B 树的基本介绍

B 树通过重新组织节点， 降低树的高度， 并且减少 i/o 读写次数来提升效率。

1. 如图 B 树通过重新组织节点， 降低了树的高度.
2. 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理， 将一个节点的大小设为等于一个页(页得大小通常为 4k)，这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入
3. 将树的度 M 设置为 1024， 在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素, B 树(B+)广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中

12.2 2-3 树

12.2.1 2-3 树基本介绍

2-3 树是最简单的 B 树结构, 具有如下特点:

1. 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
2. 有两个子节点的节点叫二节点， 二节点要么没有子节点， 要么有两个子节点.
3. 有三个子节点的节点叫三节点， 三节点要么没有子节点， 要么有三个子节点.
4. 2-3 树是由二节点和三节点构成的树。

12.2.2 2-3 树应用案例

将数列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树， 并保证数据插入的大小顺序。

插入规则:

1. 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
2. 有两个子节点的节点叫二节点， 二节点要么没有子节点， 要么有两个子节点.
3. 有三个子节点的节点叫三节点， 三节点要么没有子节点， 要么有三个子节点
4. 当按照规则插入一个数到某个节点时， 不能满足上面三个要求， 就需要拆， 先向上拆， 如果上层满， 则拆本层，拆后仍然需要满足上面 3 个条件。
5. 对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则

12.2.3 其它说明

除了 23 树， 还有 234 树等， 概念和 23 树类似， 也是一种 B 树。 如图:

12.3 B 树、 B+树和 B*树

12.3.1 B 树的介绍

B-tree 树即 B 树， B 即 Balanced， 平衡的意思。 有人把 B-tree 翻译成 B-树， 容易让人产生误解。 会以为 B-树是一种树， 而 B 树又是另一种树。 实际上， B-tree 就是指的 B 树。

12.3.2 B 树的介绍

前面已经介绍了 2-3 树和 2-3-4 树， 他们就是 B 树(英语： B-tree 也写成 B-树)， 这里我们再做一个说明， 我们在学习 Mysql 时， 经常听到说某种类型的索引是基于 B 树或者 B+树的， 如图:

对上图的说明:

1. B 树的阶： 节点的最多子节点个数。 比如 2-3 树的阶是 3， 2-3-4 树的阶是 4
2. B-树的搜索， 从根结点开始， 对结点内的关键字（有序） 序列进行二分查找， 如果命中则结束， 否则进入查询关键字所属范围的儿子结点； 重复， 直到所对应的儿子指针为空， 或已经是叶子结点
3. 关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据.
4. 搜索有可能在非叶子结点结束
5. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

12.3.3 B+树的介绍

B+树是 B 树的变体， 也是一种多路搜索树。

对上图的说明:

1. B+树的搜索与 B 树也基本相同， 区别是 B+树只有达到叶子结点才命中（B 树可以在非叶子结点命中） ， 其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
2. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】 ） ， 且链表中的关键字(数据)恰好是有序的。
3. 不可能在非叶子结点命中
4. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引） ， 叶子结点相当于是存储（关键字） 数据的数据层
5. 更适合文件索引系统
6. B 树和 B+树各有自己的应用场景， 不能说 B+树完全比 B 树好， 反之亦然

12.3.4 B*树的介绍

B 树是 B+树的变体， 在 B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。*

B* 树的说明:

1. B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为 (2/3)*M， 即块的最低使用率为 2/3， 而 B+树的块的最低使用率为的 1/2。
2. 从第 1 个特点我们可以看出， B 树分配新结点的概率比 B+ 树要低， 空间使用率更高*