堆排算法的分析与总结

　　关于对的算法思想，随处都可以查到，下面总结下堆的算法。

　　堆排序和直接选择排序都是选择排序，即从未序区间中选择最大或者最小的元素追加到已序区间的尾部，直到剩下一个元素。

　　直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。

　　堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。

　　堆排序算法的解析：

　　1、建初始堆（以大顶堆为例），这一步骤把初始序列建成了一个满足大顶堆性质的序列，且每棵子树都满足。这个时候堆顶是本序列中最大的元素，因此将最后一个元素和堆顶元素调换，把最大值放到最终的位置上。建好了初始堆，就保留了排序时候的比较结果，后面的调整都可以再此基础上进行，加快排序效率。

　　2、由于每次讲堆顶元素和最后一个对调，破坏了堆的性质，因此要从新向下调整，建立大顶堆（这里在初始堆的基础上，只要将堆顶元素调到合适位置即可）。

　　3、调整完了之后，又将堆顶元素与未序区间的最后一个元素对调。

　　4、重复2,3直到堆中剩余一个元素。

下面是对算法的代码：

void HeapSort(ElemType A[],int len)
{
    BuilMaxHeap(A,len);//建立初始堆
    for(int i = len;i>1;i--)
    {
        A[0]=A[1];A[1]=A[i];A[i]=A[0];//堆顶和未序区间尾元素对调。
        AdjustDown(A,1,i-1);//调整未序区间，继续下一次对调。从1 —— i-1是未序的。
    }
}

建立大顶堆的算法如下：

void BuildMaxHeap(ElemType A[],int len)
{
    for(int i=len/2;i>0;i--)//从最后一个父节点开始向前建堆
        AdjustDown(A,i,len);//向下调整
}

向下调整算法如下：

void AdjustDown(Elemtype A[],int k,int len)
{
    A[0]=A[k];//保存子堆的父节点
    for(int i=2*k;i<=len;i*=2)
    {
        if(i<len&&A[i]<A[i+1])//寻找较大的孩子
            i++;
        if(A[0]>A[i])//如果孩子节点没有比父节点大，跳出循环
            break;
        else
        {
            A[k]=A[i];//孩子上调
            k=i;//孩子当下一个父亲
        }
    }
    A[k]=A[0];//把子堆顶元素放在最终的位置
}

注意：堆的最重要的操作就是调整函数，即向下调整AjustDown()月AdjustUp()，其余操作都建立在这两个操作之上。

删除堆顶元素时，需要堆顶元素和堆的最后一个元素对换，然后将堆的长度减一。

对堆查入操作时，先将堆的新节点放在堆的末尾，在对这个新节点指向向上调整AdjustUp()操作。

下面是向上调整的堆算法：

void AdjustUp(Elentype A[],int k)//k为向上调整的节点，也为新堆的元素个数
{
    A[0]=A[k];
    int i = k/2;//i是k的双亲
    while(i>0&&A[i]<A[0])//如果双亲存在，且双亲小于孩子节点，执行循环体中的语句
    {
        A[k]=A[i];
        k=i;
        i=k/2;//寻找双亲的双亲，继续向上比较
    }//如果不满足while中的条件跳出，k的位置就是接下来新节点的位置。
    A[k]=A[0];//将新节点复制到最终位置上
}

堆的应用：

堆可以用来解决TOPK问题；优先级队列的底层也是用堆来实现。