完全背包问题

题目来源：https://www.acwing.com/problem/content/3/


基本思考框架

C++代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = 0 ; j<=m ;j++)
    {
        for(int k = 0 ; k*v[i]<=j ; k++)
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
    }

    cout<<f[n][m]<<endl;
}

优化思路
我们列举一下更新次序的内部关系：

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-2*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系： 
                        f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])

有了上面的关系，那么其实k循环可以不要了，核心代码优化成这样：

for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if((j-v[i]>=0)
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}

这个代码和01背包的非优化写法很像啊!!!我们对比一下，下面是01背包的
核心代码

for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}

两个代码其实只有一句不同（注意下标）
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//01背包
f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//完全背包问题
因为和01背包代码很相像，我们很容易想到进一步优化。核心代码可以改成下面这样

 for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)//注意了，这里的j是从小到大枚举，和01背包不一样
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }

综上所述，完全背包的最终写法如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
    cout<<f[m]<<endl;
}

作者：在线白给
链接：https://www.acwing.com/solution/content/5345/
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