UVa 1626

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4501

题意：

定义如下正规括号序列（字符串）：
1.空序列是正规括号序列。
2.如果S是正规括号序列，那么(S)和[S]也是正规括号序列。
3.如果A和B都是正规括号序列，那么AB也是正规括号序列。
输入一个长度不超过100的，由“(”、“)”、“[”、“]”构成的序列，添加尽量少的括号，得到一个正规序列。
如有多解，输出任意一个序列即可。

分析：

设串S至少需要增加d(S)个括号，转移如下：
1.如果S形如(S′)或者[S′]，转移到d(S′)。
2.如果S至少有两个字符，则可以分成AB，转移到d(A)＋d(B)。
边界是：S为空时d(S)=0，S为单字符时d(S)=1。
注意：不管S是否满足第一种，都要尝试第二种转移，否则“[][]”会转移到“][”，然后就只能加两个括号了。
设d(i,j)表示子串S[i～j]至少需要添加几个括号。
对于第一种，状态转移方程为：d(i,j) = d(i+1, j-1)。
对于第二种，状态转移方程为：d(i,j) = min{d(i, k) + d(k+1, j) | i ≤ k < j}。
可以在打印解的时候重新检查一下哪个决策最好。
最后，这题的输入输出有点坑。。。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int UP = 100 + 5;
char s[UP];
int d[UP][UP]; // d[L][R]表示子串s[L～R]至少需要添加几个括号

bool match(char L, char R){
    return (L == '(' && R == ')') || (L == '[' && R == ']');
}

void dynamic_programming(int len){
    for(int i = 0; i < len; i++){
        d[i][i] = 1;
        d[i+1][i] = 0;
    }
    for(int L = len - 2; L >= 0; L--){
        for(int R = L + 1; R < len; R++){
            int& v = d[L][R];
            v = match(s[L], s[R]) ? d[L+1][R-1] : 12345;
            for(int M = L; M < R; M++) v = min(v, d[L][M] + d[M+1][R]);
        }
    }
}

void output(int L, int R){
    if(L > R) return;
    if(L == R){
        if(s[L] == '(' || s[L] == ')') printf("()");
        else printf("[]");
        return;
    }
    int ans = d[L][R];
    if(match(s[L], s[R]) && d[L+1][R-1] == ans){
        printf("%c", s[L]);  output(L+1, R-1);  printf("%c", s[R]);
        return;
    }
    for(int M = L; M < R; M++) if(d[L][M] + d[M+1][R] == ans){
        output(L, M);  output(M+1, R);
        return;
    }
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    getchar();
    while(T--){
        gets(s);  gets(s);
        int len = strlen(s);
        dynamic_programming(len);
        output(0, len - 1);  printf("
");
        if(T) printf("
");
    }
    return 0;
}

最后，再贴一下我一开始的代码，状态的转移有点不同：当s[L]与s[M]不匹配时，d(L,M)转移到d(L+1,M)+1。

递推写法：

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int UP = 100 + 5;
char s[UP];
int d[UP][UP], ans[UP][UP];

int diff(int L, int R){
    if(s[L] == '(') return s[R] != ')';
    if(s[L] == '[') return s[R] != ']';
    return 1;
}

void dynamic_programming(int len){
    for(int i = 0; i < len; i++){
        d[i][i] = 1;
        d[i+1][i] = 0;
    }
    for(int L = len - 2; L >= 0; L--){
        for(int R = L + 1; R < len; R++){
            d[L][R] = 12345;
            for(int M = L; M <= R; M++){
                int f = diff(L, M);
                int v = f + d[L+1][M-1+f] + d[M+1][R];
                if(d[L][R] > v){
                    d[L][R] = v;
                    ans[L][R] = M;
                }
            }
        }
    }
}

void output(int L, int R){
    if(L > R) return;
    if(L == R){
        if(s[L] == '(' || s[L] == ')') printf("()");
        else printf("[]");
        return;
    }
    int M = ans[L][R];
    if(L == M){
        output(L, M);  output(M+1, R);
        return;
    }
    printf("%c", s[L]);
    if(!diff(L, M)) output(L+1, M-1), printf("%c", s[M]);
    else output(L+1, M), printf("%c", s[L] == '(' ? ')' : ']');
    output(M+1, R);
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    getchar();
    while(T--){
        gets(s);  gets(s);
        int len = strlen(s);
        dynamic_programming(len);
        output(0, len - 1);  printf("
");
        if(T) printf("
");
    }
    return 0;
}

记忆化写法（比递推写法慢几倍）：

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int UP = 100 + 5;
int d[UP][UP], ans[UP][UP];
char s[UP];

int diff(int L, int R){
    if(s[L] == '(') return s[R] != ')';
    if(s[L] == '[') return s[R] != ']';
    return 1;
}

int dp(int L, int R){
    if(L > R) return 0;
    if(L == R) return 1;
    int& v = d[L][R];
    if(v != INF) return v;

    for(int M = L; M <= R; M++){
        int f = diff(L, M);
        int res = f + dp(L+1, M-1+f) + dp(M+1, R);
        if(v > res){
            v = res;
            ans[L][R] = M;
        }
    }
    return v;
}

void output(int L, int R){
    if(L > R) return;
    if(L == R){
        if(s[L] == '(' || s[L] == ')') printf("()");
        else printf("[]");
        return;
    }
    int M = ans[L][R];
    if(L == M){
        output(L, M);  output(M+1, R);
        return;
    }
    printf("%c", s[L]);
    if(!diff(L, M)) output(L+1, M-1), printf("%c", s[M]);
    else output(L+1, M), printf("%c", s[L] == '(' ? ')' : ']');
    output(M+1, R);
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    getchar();
    while(T--){
        gets(s);  gets(s);
        memset(d, INF, sizeof(d));
        dp(0, strlen(s) - 1);
        output(0, strlen(s) - 1);
        printf("
");
        if(T) printf("
");
    }
    return 0;
}