矩阵优化

知识基础：

矩阵乘法

矩阵快速幂

序列型动态规划

• 矩阵乘法

对于矩阵A和矩阵B

这两个矩阵的乘法当且仅当A的列数与B的行数相等时才能定义。

如A是m * n矩阵， B是n * p矩阵，他们的乘积C是一个m * p矩阵C = （ c_ij ）

其中 c_ij  = Σⁿ_{k = 1} a_ik * b_kj 

记作 C = AB

注：矩阵乘法满足结合律（即 (AB)C = A(BC)，这是快速幂的基础） 、

       左结合律（即(A + B)C = AC + BC）、右结合律（即C(A + B) = CA + CB）

       但不满足交换律！！！

• 矩阵快速幂

void matrix_pow(long long y){
    int i, j, k;
    memset(ans, 0, sizeof(ans));
    for(i = 1; i <= n; i++)
        ans[i][i] = 1;//单位矩阵建立
    while(y > 0){
        if(y & 1){
            memset(temp, 0, sizeof(temp));
            for(i = 1; i <= n; i++)
                for(j = 1; j <= n; j++)
                    for(k = 1; k <= n; k++)
                        temp[i][j] = (temp[i][j] + ans[i][k] * mat[k][j]) % P;    
            for(i = 1; i <= n; i++)
                for(j = 1; j <= n; j++)
                    ans[i][j] = temp[i][j];   
           //ans = (ans * mat) % P;
        }       
        memset(temp, 0, sizeof(temp));
        int i, j, k;     
        for(i = 1; i <= n; i++)
            for(j = 1; j <= n; j++)
                for(k = 1; k <= n; k++)
                temp[i][j] = (temp[i][j] + mat[i][k] * mat[k][j]) % P;    
        for(i = 1; i <= n; i++)
            for(j = 1; j <= n; j++)
                mat[i][j] = temp[i][j];
        // mat = (mat * mat) % P;
        y >>= 1;
    }
}

模板题 ： 洛谷 P3390 【模板】矩阵快速幂

然后接可以开始矩阵优化了

拿斐波那契数列来举例吧

众所周知 斐波那契数列满足f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)

边界为 f(1) = f(2) = 1

如果要求f(1e15) 那普通线性推导分分钟T爆

考虑优化：

由于得到 f(n) 需要它前两个值

若已知矩阵 { f(n - 1), f(n - 2) } 就可以导出f(n)

当然 也可以通过它建立矩阵{  f(n), f(n - 1) } 这样推导下去

推导方式就是让它乘上一个矩阵mat

f(n) = 1 * f(n - 1) + 1 * f(n - 2);

所以mat的第一列是{1, 1}

f(n - 1) = 1 * f(n - 1) + 0 * f(n - 2);

所以矩阵mat第二列是{1, 0}

这样我们得到了mat

1 1

1 0

推导n次 就相当于

{ f(2), f(1) } * (mat)^{n - 2} = { f(n), f(n - 1) }

模板题 ：洛谷 P1939 【模板】矩阵加速（数列）

例题：洛谷 P1306 斐波那契公约数

竟然把结论手推出来了…【还是孤陋寡闻啊

gcd( f(a), f(b) ) = f( gcd(a, b) )

然后矩阵优化推斐波那契就行了

例题 ： 洛谷 P1357 花园

本题使用状压

深搜预处理合理状态

建立矩阵进行状态转移

再传统矩阵加速

void update(int cnt, int st){
    okk[st] = 1;
    int pre = st >> 1;
    mat[pre][st] = 1;
    if(cnt == l && !(st & 1)) return ;
    mat[pre | (1 << (m - 1))][st] = 1; 
}
void dfs(int cur, int cnt, int st){
    if(cur > m){
        update(cnt, st); return ;
    }
    dfs(cur + 1, cnt, st);
    if(cnt < l) dfs(cur + 1, cnt + 1, st | (1 << (cur - 1)));
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &l);
    dfs(1, 0, 0); 
    lim = (1 << m); 
    qsort(n);
    long long tot = 0;
    for(int i = 0; i < lim; i++)
    if(okk[i]) tot = (tot + ans[i][i]) % P;
    printf("%lld", tot);
    return 0;
}

记得取模 n会爆int