[codeforces 508E]Maximum Matching

题目：Maximum Matching

传送门：http://codeforces.com/contest/1038/problem/E

分析：

一个块拥有{color1，val，color2}，两个块相连要求相连处颜色相同，求价值最大的连接方案。

关心到color最大为4，以4种颜色为点，对于每个块，在（color1，color2）间连一条边权为（val）的边，建一张4个点n条边的图。显然，在图上选一条价值最大的路径（或回路）就是答案了。

方法一：

如果这张图本身就是Eular路径（或Eular回路），那就是答案了，不会有方案比全选更优。

如果本身不是Eular路径（或Eular回路），我们可以删掉一些边，使其成为Eular路径（或Eular环路）。

对于两个点而言，最多删去一条边（若删去两条，这两条构成的环可加入答案），删去的边一定是连接这两个点的边中权重最小的。

枚举要删掉的边，对于4个点，两两连接，最多16条边需要考虑是否删除，枚举删掉边的集合st（对该集合状态压缩），对去除该集合中的边的集合求一条Eular路径（或Eular回路）

复杂度：$O(2^16 * 4 * 4 * n)$ 实际上对存在自环的集合是不用考虑的，复杂度：$O(2^16 * n)$

引用：Ashishgup大佬的题解：http://codeforces.com/blog/entry/61692

方法二:

如果两点（u，v）之间存在多条边，每两条边就能走回本身，可从原图中消去，在遍历到u点或v点时加到答案中，注意不要重复加。

为了保证不破坏原图的连通性，那最多只需保留2条边，保留的当然是权值最小的边啦（这些边有可能不被选中，保留权值大的边就可能得不到答案）

对4个点13条边暴力DFS找一条路径即可。这样复杂度与n无关，题目的n可以进一步加强。

#include <bits/stdc++.h>
int e[7][7][121],f[7][7],vis[7];
int ans=0;
void dfs(int x,int tmp){
    for(int y=1;y<=4;++y)if(!vis[x] && !vis[y])tmp+=f[x][y];++vis[x];
    if(tmp>ans)ans=tmp;
    for(int y=1;y<=4;++y)
        if(x!=y && e[x][y][0]>0){
            tmp+=e[x][y][e[x][y][0]];
            --e[x][y][0];--e[y][x][0];
            dfs(y,tmp);
            ++e[x][y][0];++e[y][x][0];
            tmp-=e[x][y][e[x][y][0]];
        }
    --vis[x];for(int y=1;y<=4;++y)if(!vis[x] && !vis[y])tmp-=f[x][y];
}
int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=0,u,val,v;i<n;++i){
        scanf("%d %d %d",&u,&val,&v);
        if(v>u)u^=v,v^=u,u^=v;
        e[v][u][++e[v][u][0]]=val;
    }
    for(int i=1;i<=4;++i){
        for(;e[i][i][0];--e[i][i][0])f[i][i]+=e[i][i][e[i][i][0]];
        for(int j=i+1;j<=4;++j){
            std::sort(e[i][j]+1,e[i][j]+e[i][j][0]+1);
            for(;e[i][j][0]>2;e[i][j][0]-=2)f[i][j]+=e[i][j][e[i][j][0]]+e[i][j][e[i][j][0]-1];
            e[j][i][0]=e[i][j][0];e[j][i][1]=e[i][j][1];e[j][i][2]=e[i][j][2];
            f[j][i]=f[i][j];
        }
    }
    dfs(4,0);
    for(int i=1;i<=4;++i)
        dfs(i,0);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

方法3：

我们可以设计一个复杂度与n相关的做法，这样颜色数量可以加强。

定义f[i][j][x][y]:[i,j]区间里的链左右端点颜色为(x,y);

转移方程：

1继承：f[i][j][x][y]: max{f[i][k][x][y],f[k+1][j][x][y]};

2拼接：f[i][j][x][y]: max{f[i][k][x][t]+f[k+1][j][t][y], f[k+1][j][x][t]+f[i][k][t][y]};

引用：http://codeforces.com/contest/1038/submission/42602607

方法4：

对于本题而言，在连通块中，每当找到一个环就可以直接加入到答案中。最后可能会剩下一些零星的边，对于只有4个点的图而言的，只有剩下$e_{a,b},e_{c,d}$这种情况要考虑，删除一条就好了，可以从加入答案的边中用权值最小的边替换剩下的边，删掉。等效于删去一条最小边。

找环（实际上不关心环的具体情况，与找Eular路径（回路）方法相同，使用Fleury算法，复杂度O(n)）

联通块可用并查集维护。

引用：http://codeforces.com/contest/1038/submission/42587804