机器学习之GMM-EM

参考资料：机器学习课程的ppt……

Mixture Models

我们将研究混合模型，包括高斯混合模型和伯努利混合模型。

关键思想是引入潜变量，它允许从更简单的分布形成复杂的分布。·

我们将看到，混合模型可以用具有离散的潜在变量（在有向的图形模型中）来解释。

在后面的课堂上，我们还会看到连续的潜在变量。

K-Means Clustering

k-群集分析

首先，我们来看看下面的问题：在多维空间中识别数据点的簇或组。

我们希望把数据划分成K簇，其中给出k。

我们观察到由N维观测组成的数据集。

其次，我们介绍了D维向量，原型我们可以认为K代表聚类中心。

我们的目标是：找到数据点到集群的分配。-每个数据点到其最接近的原型的平方距离的总和是最小值。

·对于每个数据点xn，我们引入长度为K的二进制向量rn（K的1/K编码），它指示数据点xn被分配给哪个K簇。

定义目标（失真测度）：

它表示每个数据点到其指定的原型k的距离的平方和。

我们的目标是找到rnk和聚类中心uk的值，以便最小化目标J。

Iterative Algorithm

定义迭代过程以最小化：

关于给定的k，将j相对于RNK（E步骤）最小化：

简单地说，将第n个数据点Xn分配到它最接近的集群中心。

给出给定的RNK，相对于k（m步骤）最小化J：

其中n是分配给群集K的点的数目。

集合k等于分配给群集K的所有数据点的平均值。

保证了收敛到局部最小值（不是全局最小值）。

举例

 在旧的数据集上使用k-均值（k＝2）的例子，收敛步骤如下：

参考资料：

https://www.cnblogs.com/cfantaisie/archive/2011/08/20/2147075.html

matlab代码：

如果理解了上面的内容，写起来一小时内就可以完成，为何不自己试一试呢。

函数：

function [data, mu, var, weight] = CreateSample(M, dim, N)
% 生成实验样本集，由M组正态分布的数据构成
% % GMM模型的原理就是仅根据数据估计参数：每组正态分布的均值、方差，
% 以及每个正态分布函数在GMM的权重alpha。
% 在本函数中，这些参数均为随机生成，
% 
% 输入
%   M    : 高斯函数个数
%   dim  : 数据维数
%   N    : 数据总个数
% 返回值
%   data : dim-by-N, 每列为一个数据
%   miu  : dim-by-M, 每组样本的均值，由本函数随机生成
%   var  : 1-by-M, 均方差，由本函数随机生成
%   weight: 1-by-M, 每组的权值，由本函数随机生成
% ---------------------------------------------------- 
%
% 随机生成不同组的方差、均值及权值
weight = rand(1,M);
weight = weight / norm(weight, 1); % 归一化，保证总合为1
var = double(mod(int16(rand(1,M)*100),10) + 1);  % 均方差，取1~10之间，采用对角矩阵
mu = double(round(randn(dim,M)*100));            % 均值，可以有负数
 
for i = 1: M
  if i ~= M
    n(i) = floor(N*weight(i));
  else
    n(i) = N - sum(n);
  end
end
 
% 以标准高斯分布生成样本值，并平移到各组相应均值和方差
start = 0;
for i=1:M
  X = randn(dim, n(i));
  X = X.* var(i) + repmat(mu(:,i),1,n(i));
  data(:,(start+1):start+n(i)) = X;
  start = start + n(i);
end
save('d:data.mat', 'data');

　　

function [MU_pre,SIGMA_pre,Alpha_Pre,Center_Pre]=CreatePre(Gao_siNum,dimention);
% 生成随机的MU,SIGMA和权重
% 输入
%   Gao_siNum    : 高斯函数个数
%   dimention    : 数据维数
% 返回值
%   MU_pre : dim-Num, 每组样本的均值，由本函数随机生成
%   SIGMA_pre  : dim-M, 均方差，由本函数随机生成
%   Alpha_Pre  : 1-M, 权重
%   Center_Pre : 2-M，每个点的中心 
% ---------------------------------------------------- 
% 

MU_pre=normrnd(10,5,dimention,Gao_siNum);
SIGMA_pre=normrnd(10,5,1,Gao_siNum);
Alpha_Pre=normrnd(10,5,1,Gao_siNum);
Center_Pre=normrnd(30,100,2,Gao_siNum);
% MU_pre=normrnd(rand(1),rand(1),dimention,Gao_siNum);
% SIGMA_pre=normrnd(rand(1),rand(1,1),dimention,Gao_siNum);
% Alpha_Pre=normrnd(rand(1,1),rand(1,1),1,Gao_siNum);

主程序：

close all
% %% 画图
% num=60;%每个集合的样本数
% x=1:1:num;
% MU1=4;
% MU2=6;
% MU3=2;
% SIGMA=2;
% y1=normrnd(MU1,SIGMA,1,num);
% y2=normrnd(MU2,SIGMA,1,num);
% y3=normrnd(MU3,SIGMA,1,num);
% %% 画出原图像
% figure();
% hold on
% scatter(x,y1);
% scatter(x,y2);
% scatter(x,y3);
% hold off
%% 创建生成数据并且绘图
Gao_siNum=4;
dimention=2;
sampleNum=180;
[data, MU, SIGMA, weight] = CreateSample(Gao_siNum, dimention, sampleNum);  % 生成测试数据
draw_x=data(1,:);%x轴
draw_y=data(2,:);%y轴
figure();
scatter(draw_x,draw_y);
hold on
scatter(MU(1,:),MU(2,:));
hold off
%% 进行区分GMM_EM算法
[MU_pre,SIGMA_pre,Alpha_Pre,Center_Pre]=CreatePre(Gao_siNum,dimention);
hold on
scatter(Center_Pre(1,:),Center_Pre(2,:));
legend('data','real center',' pre_trained center');
hold off
%% EM 迭代停止条件
maxStep=2000;
%% 初始化参数
[dim, N] = size(data);
nbStep = 0;
Epsilon = 0.0001;
distance=zeros(Gao_siNum,sampleNum);
distance_min=zeros(1,sampleNum);
distance_min_Index=zeros(1,sampleNum);
while (nbStep < 1200)
   nbStep=nbStep+1;
   %计算每个点到各自中心的衡量，需要一个dimention*sampleNum大小的矩阵来保存
   for i=1:sampleNum
         for j=1:Gao_siNum
             %(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
             distance(j,i)=sqrt((data(1,i)-Center_Pre(1,j))^2+(data(2,i)-Center_Pre(2,j))^2);
         end
   end
     %% E-步骤 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
     for i=1:sampleNum
             distance_min(1,i)=min(distance(:,i));
             for j=1:Gao_siNum
                 if distance(j,i)==distance_min(1,i);
                     distance_min_Index(1,i)=j;%将第n个数据点Xn分配到它最接近的集群中心。
                 end
             end
     end
     %% M-步骤 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
        %给出给定的RNK，相对于k（m步骤）最小化J：重新贴标签
        %先把每个类的对应标签找出来，然后再计算均值。
        find_dimention1= find(distance_min_Index==1); %查找对应的类
        
        find_dimention1(1)=1;
        n=length(find_dimention1);
        Center_Pre(1,1)=sum(data(1,find_dimention1))/n;
        Center_Pre(2,1)=sum(data(2,find_dimention1))/n;
        find_dimention2= find(distance_min_Index==2); %查找对应的类   
        
        find_dimention2(1)=1;
        n=length(find_dimention2);
        Center_Pre(1,2)=sum(data(1,find_dimention2))/n;
        Center_Pre(2,2)=sum(data(2,find_dimention2))/n;
        find_dimention3= find(distance_min_Index==3); %查找对应的类
        
        find_dimention3(1)=1;
        n=length(find_dimention3);
        Center_Pre(1,3)=sum(data(1,find_dimention3))/n;
        Center_Pre(2,3)=sum(data(2,find_dimention3))/n;
        find_dimention4= find(distance_min_Index==4); %查找对应的类
        n=length(find_dimention4);
        find_dimention4(1)=1;
        Center_Pre(1,4)=sum(data(1,find_dimention4))/n;
        Center_Pre(2,4)=sum(data(2,find_dimention4))/n;
%         for j=1:Gao_siNum
%             n=length(find_dimention(:,j));
%             Center_Pre(1,j)=sum(data(1,find_dimention(:,j)))/n;
%             Center_Pre(2,j)=sum(data(2,find_dimention(:,j)))/n;
%         end
%%
cost=0;
for j=1:Gao_siNum
cost=cost+sum(distance(:,j));
end
end
%%
figure();
hold on
scatter(draw_x,draw_y,'y');
scatter(MU(1,:),MU(2,:),'b');
scatter(Center_Pre(1,:),Center_Pre(2,:),'g');
legend('data','real center',' pre_trained center');
hold off

成果：