Acwing 273.分级 (DP)

题面

给定长度为N的序列A，构造一个长度为N的序列B，满足：

1、B非严格单调，即B1≤B2≤…≤BN或B1≥B2≥…≥BN。
2、最小化 S=∑Ni=1|Ai−Bi|。

只需要求出这个最小值S。

输入格式
第一行包含一个整数N。

接下来N行，每行包含一个整数Ai。

输出格式
输出一个整数，表示最小S值。

数据范围
1≤N≤2000,
0≤Ai≤109
输入样例：
7
1
3
2
4
5
3
9
输出样例：
3

思路

首先，我们会有一个直接的想法，如果说我们这个b数组可以尽量的和a数组保持一致，并在这个基础上去维护非严格单调，那么这看上去很不错。然后我们考虑去证明一下，我们把a数组排个序，一个b数组肯定对应一个a数组的元素，那么这些元素肯定被排序完成的a数组所包夹。那么对于一段a数组所对应的b数组，我们要计算的是两者的差值，我们希望越小越好，所以我们各自统计b数组中大于Ai+1和Ai的个数，我们这样我们会发现，这里我们可以用类似于中位数的那个逻辑，对b数组进行操作，得到理论上的最小值，接下来就是dp方程的建立了。dp[i][j]代表前i个元素已经完成并且最后一个b[i]等于A[j]的情况，那么我们接下来去分析dp[i-1][j]那么这个状态就等价于j分别取1到j的最小值，最后取最小值就可以了。

代码实现

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define rep(i,f_start,f_end) for (int i=f_start;i<=f_end;++i)
#define per(i,n,a) for (int i=n;i>=a;i--)
#define MT(x,i) memset(x,i,sizeof(x) )
#define rev(i,start,end) for (int i=0;i<end;i++)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define MOD 1000000007
#define exp 1e-8
#define N 1000005 
#define fi first 
#define se second
#define pb push_back
typedef long long ll;
typedef pair<int ,int> PII;
ll gcd (ll a,ll b) {return b?gcd (b,a%b):a; }
inline int read() {
    char ch=getchar(); int x=0, f=1;
    while(ch<'0'||ch>'9') {
        if(ch=='-') f = -1;
        ch=getchar();
    } 
    while('0'<=ch&&ch<='9') {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }   return x*f;
}

const int maxn=2010;
int f[maxn][maxn];
int b[maxn];
int a[maxn];
int n;

int dp () {
   rep (i,1,n) b[i]=a[i];
   sort (b+1,b+1+n);

   rep (i,1,n) {
       int minv=inf;
       rep (j,1,n) {
           minv =min (minv,f[i-1][j]);
           f[i][j]+=minv+abs (a[i]-b[j]);
       }
   }
   int ans=inf;
   rep (i,1,n) {
       ans=min (ans,f[n][i]);
   }
   return ans;
}

int main () {
    cin>>n;
    rep (i,1,n) cin>>a[i];
    int ans=dp ();
    reverse (a+1,a+1+n);
    ans= min (ans,dp());
    cout<<ans <<endl;
    return 0;
}