python 实现分治法的几个例子

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

题目1. 给定一个顺序表，编写一个求出其最大值的分治算法。

# 基本子算法（子问题规模小于等于 2 时）
def get_max(max_list):
    return max(max_list) # 这里偷个懒！


# 分治法 版本一
def solve(init_list):
    n = len(init_list)
    if n <= 2: # 若问题规模小于等于 2，最终解决
        return get_max(init_list)

    # 分解（子问题规模为 2，最后一个可能为 1）
    temp_list=(init_list[i:i+2] for i in range(0, n, 2))
    
    # 分治，合并
    max_list = list(map(get_max, temp_list))
    
    # 递归（树）
    solve(max_list)
        
        
# 分治法 版本二
def solve2(init_list):
    n = len(init_list)
    if n <= 2: # 若问题规模小于等于 2，解决
        return get_max(init_list)

    # 分解（子问题规模为 n/2）
    left_list, right_list = init_list[:n//2], init_list[n//2:]
    
    # 递归（树），分治
    left_max, right_max = solve2(left_list), solve2(right_list)
    
    # 合并
    return get_max([left_max, right_max])


if __name__ == "__main__":
    # 测试数据
    test_list = [12,2,23,45,67,3,2,4,45,63,24,23]
    # 求最大值
    print(solve(test_list))  # 67
    print(solve2(test_list)) # 67

题目2. 给定一个顺序表，判断某个元素是否在其中。

# 子问题算法（子问题规模为 1）
def is_in_list(init_list, el):
    return [False, True][init_list[0] == el]


# 分治法
def solve(init_list, el):
    n = len(init_list)
    if n == 1: # 若问题规模等于 1，直接解决
        return is_in_list(init_list, el)
    
    # 分解（子问题规模为 n/2）
    left_list, right_list = init_list[:n//2], init_list[n//2:]
    
    # 递归（树），分治，合并
    res =  solve(left_list, el) or solve(right_list, el)

    return res

if __name__ == "__main__":
    # 测试数据
    test_list = [12,2,23,45,67,3,2,4,45,63,24,23]
    # 查找
    print(solve2(test_list, 45)) # True
    print(solve2(test_list, 5))  # False

题目3. 找出一组序列中的第 k 小的元素，要求线性时间

# 划分（基于主元 pivot），注意：非就地划分
def partition(seq):
    pi = seq[0]                           # 挑选主元
    lo = [x for x in seq[1:] if x <= pi]  # 所有小的元素
    hi = [x for x in seq[1:] if x > pi]   # 所有大的元素
    return lo, pi, hi

# 查找第 k 小的元素
def select(seq, k):
    # 分解
    lo, pi, hi = partition(seq)
    
    m = len(lo)
    if m == k: 
        return pi                # 解决！
    elif m < k: 
        return select(hi, k-m-1) # 递归（树），分治
    else:
        return select(lo, k)     # 递归（树），分治
 
if __name__ == '__main__':
    seq = [3, 4, 1, 6, 3, 7, 9, 13, 93, 0, 100, 1, 2, 2, 3, 3, 2]
    print(select(seq, 3)) #2
    print(select(seq, 5)) #2

题目4. 快速排序

# 划分（基于主元 pivot），注意：非就地划分
def partition(seq):
    pi = seq[0]                           # 挑选主元
    lo = [x for x in seq[1:] if x <= pi]  # 所有小的元素
    hi = [x for x in seq[1:] if x > pi]   # 所有大的元素
    return lo, pi, hi


# 快速排序
def quicksort(seq):
    # 若问题规模小于等于1，解决
    if len(seq) <= 1: return seq
    
    # 分解
    lo, pi, hi = partition(seq)
    
    # 递归（树），分治，合并
    return quicksort(lo) + [pi] + quicksort(hi)
 
seq = [7, 5, 0, 6, 3, 4, 1, 9, 8, 2]
print(quicksort(seq)) #[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

题目5. 合并排序（二分排序）

# 合并排序
def mergesort(seq):
    # 分解（基于中点）
    mid = len(seq) // 2
    left_seq, right_seq = seq[:mid], seq[mid:]
    
    # 递归（树），分治
    if len(left_seq) > 1: left_seq = mergesort(left_seq)
    if len(right_seq) > 1: right_seq = mergesort(right_seq)
    
    # 合并
    res = []
    while left_seq and right_seq:          # 只要两者皆非空
        if left_seq[-1] >= right_seq[-1]:  # 两者尾部较大者，弹出
            res.append(left_seq.pop())
        else: 
            res.append(right_seq.pop())
    res.reverse()                          # 倒序
    return (left_seq or right_seq) + res   # 前面加上剩下的非空的seq
    
    
seq = [7, 5, 0, 6, 3, 4, 1, 9, 8, 2]
print(mergesort(seq)) #[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

题目6. 汉诺塔

# 汉诺塔
def move(n, a, buffer, c):
    if n == 1:
        print(a,"->",c)
        #return
    else:
        # 递归（线性）
        move(n-1, a, c, buffer)
        move(1, a, buffer, c) # 或者：print(a,"->",c)
        move(n-1, buffer, a, c)
    
move(3, "a", "b", "c")

问题7. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯，需要n步你才能到达顶部。但每次你只能爬一步或者两步，你能有多少种不同的方法爬到楼顶部？

# 爬楼梯
def climb(n=7):
    if n <= 2:
        return n
    return climb(n-1) + climb(n-2) # 等价于斐波那契数列！
    
print(climb(5)) # 8
print(climb(7)) # 21

问题8. 给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点的所有点对中，该点对的距离最小。（最近点对问题）

from math import sqrt

# 蛮力法
def solve(points):
    n = len(points)
    min_d = float("inf") # 最小距离：无穷大
    min_ps = None        # 最近点对
    for i in range(n-1):
        for j in range(i+1, n):
            d = sqrt((points[i][0] - points[j][0])**2 + (points[i][1] - points[j][1])**2) # 两点距离
            if d < min_d:
                min_d = d                       # 修改最小距离
                min_ps = [points[i], points[j]] # 保存最近点对
    return min_ps
            


# 最接近点对（报错！）
def nearest_dot(seq):
    # 注意：seq事先已对x坐标排序
    n = len(seq)
    if n <= 2: return seq # 若问题规模等于 2，直接解决
    
    # 分解（子问题规模n/2）
    
    left, right = seq[0:n//2], seq[n//2:]
    print(left, right)
    mid_x = (left[-1][0] + right[0][0])/2.0

    # 递归，分治
    lmin = (left, nearest_dot(left))[len(left) > 2]    # 左侧最近点对
    rmin = (right, nearest_dot(right))[len(right) > 2] # 右侧最近点对

    # 合并
    dis_l = (float("inf"), get_distance(lmin))[len(lmin) > 1]
    dis_r = (float("inf"), get_distance(rmin))[len(rmin) > 1]
    d = min(dis_l, dis_r)   # 最近点对距离

    # 处理中线附近的带状区域（近似蛮力）
    left = list(filter(lambda p:mid_x - p[0] <= d, left))   #中间线左侧的距离<=d的点
    right = list(filter(lambda p:p[0] - mid_x <= d, right)) #中间线右侧的距离<=d的点
    mid_min = []
    for p in left:
        for q in right:
            if abs(p[0]-q[0])<=d and abs(p[1]-q[1]) <= d:     #如果右侧部分点在p点的(d,2d)之间
                td = get_distance((p,q))
                if td <= d: 
                    mid_min = [p,q]   # 记录p，q点对
                    d = td            # 修改最小距离
                    
    if mid_min:
        return mid_min
    elif dis_l>dis_r:
        return rmin
    else:
        return lmin


# 两点距离
def get_distance(min):
    return sqrt((min[0][0]-min[1][0])**2 + (min[0][1]-min[1][1])**2)

def divide_conquer(seq):
    seq.sort(key=lambda x:x[0])
    res = nearest_dot(seq)
    return res
    
    
# 测试
seq=[(0,1),(3,2),(4,3),(5,1),(1,2),(2,1),(6,2),(7,2),(8,3),(4,5),(9,0),(6,4)]
print(solve(seq)) # [(6, 2), (7, 2)]
#print(divide_conquer(seq)) # [(6, 2), (7, 2)]

问题8. 从数组 seq 中找出和为 s 的数值组合，有多少种可能

'''
求一个算法：N个数，用其中M个任意组合相加等于一个已知数X。得出这M个数是哪些数。

比如：
seq = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
s = 14 # 和

全部可能的数字组合有：
5+9, 6+8
1+4+9, 1+5+8, 1+6+7, 2+3+9, 2+4+8, 2+5+7, 3+4+7, 3+5+6
1+2+5+6, 1+3+4+6, 1+2+4+7, 1+2+3+8, 2+3+4+5
共计15种

http://club.excelhome.net/thread-443533-1-1.html

'''
# 版本一（纯计数）
def find(seq, s):
    n = len(seq)
    if n==1:
        return [0, 1][seq[0]==s]
    
    if seq[0]==s:
        return 1 + find(seq[1:], s)
    else:
        return find(seq[1:], s-seq[0]) + find(seq[1:], s)
    
# 测试
seq = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
s = 14 # 和
print(find(seq, s)) # 15
    
seq = [11,23,6,31,8,9,15,20,24,14]
s = 40 # 和
print(find(seq, s)) #8


# 版本二 （打印） 
def find2(seq, s, tmp=''):
    if len(seq)==0:   # 终止条件
        return
    
    if seq[0] == s:               # 找到一种，则
        print(tmp + str(seq[0]))  # 打印
    
    find2(seq[1:], s, tmp)                              # 尾递归 ---不含 seq[0] 的情况
    find2(seq[1:], s-seq[0], str(seq[0]) + '+' + tmp)   # 尾递归 ---含 seq[0] 的情况

# 测试
seq = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
s = 14 # 和
find2(seq, s)
print()

seq = [11,23,6,31,8,9,15,20,24,14]
s = 40 # 和
find2(seq, s)