CF954F Runner's Problem（DP+矩阵快速幂优化）

这题是一年前某场我参加过的Education Round codeforces的F题，当时我显然是不会的。

现在看看感觉应该是能做出的。

不扯了写题解：

考虑朴素的DP，在不存在障碍的情况下：f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-1][1],f[i][1]=f[i-1][0]+f[i-1][1]+f[i-1][2],f[i][2]=f[i-1][1]+f[i-1][2]。

然后由于N范围不太大而M有1e18，一脸矩乘的样子。

没有障碍物显然可以构造如下矩阵：

0  1  1

1  1  1

1  1  0

然后直接快速幂就行了。

考虑某一行出现障碍物，实际上是将该列的矩阵的值全部变为0

然后可以把每一段离散化建立矩阵，分段矩阵乘法就行了

notice：注意若从前向后计算出每一段的最后矩阵t后，一定是ans=t*ans而不是ans=ans*t！！

时间复杂度：O(nlogn+27nlogM)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e4+7,mod=1e9+7;
struct mat{
    int a[3][3];
    void clear(){memset(a,0,sizeof a);}
    void init(){clear();a[0][0]=a[1][1]=a[2][2]=1;}
    void zero(){init();a[0][1]=a[1][0]=a[1][2]=a[2][1]=1;}
};
struct node{ll l,r;int a;}a[N];
int n,num;
ll m,b[N<<1],c[3][N<<1],sc[3];
mat operator*(mat a,mat b)
{
    mat c;c.clear();
    for(int i=0;i<3;i++)
    for(int j=0;j<3;j++)
    for(int k=0;k<3;k++)
    c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1ll*a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
    return c;
}
mat qpow(mat a,ll b)
{
    mat ret;ret.init();
    while(b){if(b&1)ret=ret*a;a=a*a,b>>=1;}
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%lld%lld",&a[i].a,&a[i].l,&a[i].r),a[i].a--;
        b[++num]=a[i].l-1,b[++num]=a[i].r;
    }
    b[++num]=1,b[++num]=m;
    sort(b+1,b+num+1),num=unique(b+1,b+num+1)-b-1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int L=lower_bound(b+1,b+num+1,a[i].l)-b,R=lower_bound(b+1,b+num+1,a[i].r)-b;
        c[a[i].a][L]++,c[a[i].a][R+1]--;
    }
    mat ans;ans.clear();
    ans.a[1][0]=1;
    for(int i=2;i<=num;i++)
    {
        mat t;t.zero();
        for(int j=0;j<3;j++)
        {
            sc[j]+=c[j][i];
            if(sc[j])t.a[j][0]=t.a[j][1]=t.a[j][2]=0;
        }
        t=qpow(t,b[i]-b[i-1]);
        ans=t*ans;
    }
    printf("%d",ans.a[1][0]);
}