Codeforces Round #649 (Div. 2)

传送门

A. XXXXX

维护一个关于模(x)的前缀和就行。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/13 23:07:56
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
 
void run() {
    int n, x; cin >> n >> x;
    vector <int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        a[i] %= x;
    }
    vector <int> sum(n);
    sum[0] = a[0];
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        sum[i] = (sum[i - 1] + a[i]) % x;
    }
    int last = -1;
    int ans = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (sum[i] != 0) {
            ans = i + 1;
        } else if (last != -1) {
            ans = max(ans, i - last);
        }
        if (sum[i] > 0 && last == -1) {
            last = i;
        }
    }
    cout << ans << '
';
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    int T; cin >> T; while(T--)
    run();
    return 0;
}

B. Most socially-distanced subsequence

显然我们最后的选择一定选择连续上升/下降的端点，在中间的点选择对答案不会有贡献并且会增加序列长度。
所以简单枚举判断一下就行。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/13 23:14:56
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
 
void run() {
    int n; cin >> n;
    vector <int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    vector <int> b;
    b.push_back(a[0]);
    for (int i = 1, j; i < n; i = j) {
        j = i;
        if (a[j] < a[j - 1]) {
            while (j < n && a[j] < a[j - 1]) ++j;
            b.push_back(a[j - 1]);
        } else {
            while (j < n && a[j] > a[j - 1]) ++j;
            b.push_back(a[j - 1]);           
        }
    }
    cout << sz(b) << '
';
    for (auto it : b) {
        cout << it << ' ';
    }
    cout << '
';
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    int T; cin >> T; while(T--)
    run();
    return 0;
}

C. Ehab and Prefix MEXs

题意：
给定一个序列(a)，(0leq a_ileq i,a_ileq a_{i+1})。
现在要构造出一个序列(b)，使得对于每个(i)，都有

• (MEX({b_1,b_2,cdots,b_i})=a_i)

输出(b)序列。

思路：
注意到若(a_i ot ={a_{i+1}})，那么(b_{i+1}=a_i)。因此我们首先可以将这些位置确定。
并且若(1)~(i)不含(a_i)，那么(MEX({b_1,b_2,cdots,b_i})leq a_i)。那么我们现在所考虑的是让前缀(MEX)尽量大并且不包含(a_i)。这样直接贪心构造一下就行。
因为题目条件，显然至少存在一组合法解。
代码如下：

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/15 9:28:17
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e6 + 5;
 
bool del[N];
int n;
int a[N], b[N];
 
void run() {
    memset(b, -1, sizeof(b));
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (a[i] != a[i - 1]) {
            del[a[i - 1]] = true;
            b[i] = a[i - 1];
        }
    }
    del[a[n]] = true;
    int m = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (b[i] == -1) {
        while (del[m]) ++m;
        b[i] = m++;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << b[i] << " 
"[i == n];
    }
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}

D. Ehab's Last Corollary

和之前一道题很想，找环我们可以直接通过(dfs)树来找。
如果不存在环那么直接按照深度分层即可。
注意奇数层和偶数层都有可能成为答案。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/14 0:25:26
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
 
vector <int> G[N];
int n, m, k;
int deep[N], father[N];
vector <int> d[N];
 
int t;
vector <int> cyc;
 
void find(int u, int v) {
    while (u != v) {
        cyc.push_back(u);
        u = father[u];
    }
    cyc.push_back(v);
}
 
void dfs(int u, int fa) {
    father[u] = fa;
    deep[u] = deep[fa] + 1;
    d[deep[u]].push_back(u);
    for (auto v : G[u]) if (v != fa) {
        if (deep[v] == -1) {
            dfs(v, u);
        } else if (deep[u] > deep[v]) {
            if (deep[u] - deep[v] + 1 <= k) {
                if (t == 2) continue;
                t = 2;
                find(u, v);
            }
        }
    }
}
 
void run() {
    memset(deep, -1, sizeof(deep));
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    if (t == 2) {
        cout << 2 << '
';
        cout << sz(cyc) << '
';
        for (auto it : cyc) {
            cout << it << ' ';
        }
        cout << '
';
        return;
    }
    vector <int> ans;
    int need = (k + 1) / 2;
    for (int i = 0; i <= n && need; i += 2) {
        for (auto it : d[i]) {
            ans.push_back(it);
            if (--need == 0) {
                break;
            }
        }
    }
    if (need) {
        need = (k + 1) / 2;
        ans.clear();
        for (int i = 1; i <= n && need; i += 2) {
            for (auto it : d[i]) {
                ans.push_back(it);
                if (--need == 0) {
                    break;
                }           
            }
        }
    }
    cout << 1 << '
';
    for (auto it : ans) {
        cout << it << ' ';
    }
    cout << '
';
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}

E. X-OR

题意：
交互题。
现在有(0...n-1)的排列(p)，每次可以询问两个位置(i,j)，会回答(p_i|p_j)。
现在至多询问(4269)次要求得到排列(p)。(nleq 2048)。

思路：
这个题和之前有个每次可以询问一个集合的最大值有相似之处（貌似只是题意比较类似？）。
首先一看这个询问次数很容易发现我们询问大概(2n+c)次，并且也很容易发现如果我们知道(0)的位置，那么其余的数可以直接求出来。
接下来的任务就是大概(n+c)次猜出(0)的位置，然后直接得到其余位置的数。
有比较暴力的方法：

• 每次随机选择一个数(p_i)，并询问其余在集合(S)中的数，找到所有的(p_j&p_i=p_j)的(j)，并且找到(p_i|p_j)最小的(val)，那么容易发现(val=p_i)。然后将(S)清空将得到的下标集合放入(S)中。不断重复此过程。最后会剩下两个数，一个为(0)，一个为(2^t)，再通过随机找到(0)即可。

但遗憾的是上述方法的操作次数较多，通过的几率不大。
不过这种方法可以进行改进：

• 将之前的随机选择一个数该为随机选择两个数进行询问，若(p_i|p_j)的二进制位数不超过(frac{logn}{2})，那么就选择这个数然后执行上面类似的操作。

这样就得到了优化，并且我们每次可以将一个大小为(n)的集合变为大小为(sqrt{n})的集合。因为我们选择(p_i)，其中二进制为(1)的个数小于一半，假设为(frac{logn}{2})，那么其子集个数为(2^{frac{logn}{2}}=sqrt{n})。这样我们就能得到一个比较稳定的方法，并且很容易发现根号的收敛速度还是比较快的，次数也不会超出。

当然上面的做法有点巧妙，有一个更加普遍的做法，就是利用或运算的性质，我们可以通过(logn)次询问获得(p_i)的值。具体就是我们求出(z_0,z_1,cdots,z_10)，(z_i)表示第(i)为二进制数为(0)的下标。那么通过(p_i)与(z_i)的询问即可得到第(i)位的(01)情况。
之后我们还是借用一开始暴力的思想，但是我们现在因为已经知道了(p_i)，所以可以直接确定一个数是否为(p_i)的子集(并不需要对所有遍历一遍去找(val)了)。那么如果(p_j&p_i=p_j)，直接令新的(val=p_j)即可。

两种做法都很巧妙！感觉二进制好多好多trick...(n ightarrow sqrt{n})这里也应该是第一次见吧？
代码如下：

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/15 10:16:32
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <random>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
 
mt19937 rnd(time(NULL));
 
void run() {
    int n; cin >> n;
    auto query = [&] (int i, int j) {
        cout << "? " << i << ' ' << j << endl;
        int x; cin >> x;
        return x;
    };
    
    int high;
    for (int i = 11; i >= 0; i--) {
        if ((n - 1) >> i & 1) {
            high = i + 1;
            break;
        }
    }
    vector <int> z(high, -1);
    while (count(all(z), -1)) {
        int i = rand() % n + 1, j = rand() % n + 1;
        if (i == j) continue;
        int val = query(i, j);
        for (int k = 0; k < high; k++) {
            if (!(val >> k & 1)) {
                z[k] = i;
            }
        }
    }
 
    auto get = [&](int p) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < high; i++) {
            if (z[i] == p) continue;
            int val = query(z[i], p);
            if (val >> i & 1) {
                res += 1 << i;
            }
        }
        return res;
    };
    
    
    vector <int> ans(n, -1);
    int zero = 1;
    int val = get(1);
    ans[0] = val;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int v = query(zero, i);
        if ((v & val) == v) {
            zero = i;
            val = get(i);
            ans[i - 1] = val;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (ans[i - 1] == -1) {
           ans[i - 1] = query(zero, i);
        } 
    }
    cout << "!";
    for (auto it : ans) {
        cout << ' ' << it;
    }
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}