BZOJ1010「HNOI2008」题解

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Description

有 (n) 件物品，第 (i) 件的长度为 (c_i).

要把这个物品序列划分成 (k) 个仅端点相交的子串，如果把区间 ([l,r]) 划分为一个子串，那么这个子串的长度为 (x = r - l + sum_{i=l}^r c_i).

这个子串的代价为 ((x - L)^2), 其中 (L) 是给定常数，求一种划分方案使得所有子串代价和最小。 (n leq 5 imes 10^4)

Solution

斜率优化板子。

考虑朴素的 (mathbf{DP}), 设 (mathbf{DP}_i) 表示考虑了前 (i) 件物品时的答案，那么枚举上一个决策点，可以推出转移：

[mathbf{DP}_i = min_{1 leq j < i} left { mathbf{DP}_{j} + left( sum_{k=j+1}^i c_k + i - j - 1 + L ight)^2 ight } ]

用前缀和代替一下式子里面的 (Sigma), 再设 (f_i = sum_i + i) 简化一下.

[mathbf{DP}_i = min_{1 leq j < i} left { mathbf{DP}_{j} + left(f_i - f_j - 1 - L ight)^2 ight } ]

显然暴力 (mathbf{DP}) 是 (Theta(n^2)) 的，发现这个式子很符合斜率优化的运用条件，那么直接推式子。

考虑设 (j_1, j_2) 是位置 (i) 的两个决策点，且满足 (j_2) 优于 (j_1), 那么显然有

[mathbf{DP}_{j_1} + left( f_i - f_{j_1} - 1 - L ight)^2 geq mathbf{DP}_{j_2} + left( f_i - f_{j_2} - 1 - L ight)^2 ]

把平方拆开，然后稍微合并一下同类项得:

[2f_i(f_{j_2} + 1 + L) - 2f_i(f_{j_1} + 1 + L) geq mathbf{DP}_{j_2} - mathbf{DP}_{j_1} + left( f_{j_2} + 1 + L ight)^2 - left( f_{j_1} + 1 + L ight)^2 ]

令 (g_i = (f_i + L + 1) ^ 2), 那么原式即

[2f_i geq frac {mathbf{DP}_{j_2} - mathbf{DP}_{j_1} + g_{j_2} - g_{j_1}}{f_{j_2} - f_{j_1}} ]

也就是说，如果满足上面那个不等式，我们可以得出决策 (j_2) 优于 (j_1).

斜率优化是说把这个转移方程式写成 (y = kx+b) 的形式, 那么自然可以令 (mathbf {DP}_i + g_i = y, f_i = x), 那么上面不等式的右面就是一个 (frac {Delta y}{Delta x}) 的一次函数斜率形式，当两个决策点之间的连线斜率 (k leq 2f_i) 时满足决策点 (j_2) 优于决策点 (j_1).

显然所有决策点之间构成了一个下凸壳, 那么直接单调队列算一下即可。

Code

/* Headers */
#include <unordered_map>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#define FOR(i,a,b,c) for(int i=(a);i<=(b);i+=(c))
#define ROF(i,a,b,c) for(int i=(a);i>=(b);i-=(c))
#define FORL(i,a,b,c) for(long long i=(a);i<=(b);i+=(c))
#define ROFL(i,a,b,c) for(long long i=(a);i>=(b);i-=(c))
#define FORR(i,a,b,c) for(register int i=(a);i<=(b);i+=(c))
#define ROFR(i,a,b,c) for(register int i=(a);i>=(b);i-=(c))
#define RevEdge(x) x^1
#define lowbit(x) x&(-x)
#define LeftChild(x) x<<1
#define RightChild(x) (x<<1)+1
#define CLOSE_IN() fclose(stdin);
#define CLOSE_OUT() fclose(stdout);
#define FILE_IN(x) freopen(x,"r",stdin);
#define FILE_OUT(x) freopen(x,"w",stdout);
#define IOS(x) std::ios::sync_with_stdio(x)
#define Dividing() printf("-----------------------------------
");
namespace FastIO {
#define gc() (iS == iT ? (iT = (iS = ibuff) + fread(ibuff, 1, SIZ, stdin), (iS == iT ? EOF : *iS++)) : *iS++)
    const int SIZ = 1 << 21 | 1;
    char* iS, * iT, ibuff[SIZ], obuff[SIZ], * oS = obuff, * oT = oS + SIZ - 1, fu[110], cc;
    int fr;
    inline void out() {
        fwrite(obuff, 1, oS - obuff, stdout);
        oS = obuff;
    }
    template<class Type>
    inline void read(Type& x) {
        x = 0;
        Type y = 1;
        for (cc = gc(); (cc > '9' || cc < '0') && cc != '-'; cc = gc());
        cc == '-' ? y = -1 : x = (cc & 15);
        for (cc = gc(); cc >= '0' && cc <= '9'; cc = gc())
            x = x * 10 + (cc & 15);
        x *= y;
    }
    template<class Type>
    inline void print(Type x, char text = '
') {
        if (x < 0)
            * oS++ = '-', x *= -1;
        if (x == 0)
            * oS++ = '0';
        while (x)
            fu[++fr] = x % 10 + '0', x /= 10;
        while (fr);
            * oS++ = fu[fr--];
        * oS++ = text;
        out();
    }
    inline void prints(char x[], char text = '
') {
        for (register int i = 0; x[i]; ++i)
            * oS++ = x[i];
        * oS++ = text;
        out();
    }
}
using namespace FastIO;
using std::pow;
template<typename T>
inline T max(T a, T b) {return (a > b) ? a : b;}
template<typename T>
inline T min(T a, T b) {return (a > b) ? b : a;}
/* definitions */
#define int long long
const int MAXN = 5e4 + 10;
int n, L, c[MAXN], sum[MAXN], f[MAXN], g[MAXN], dp[MAXN];
int q[MAXN], head, tail;
/* functions */
inline double slope(int x, int y) {
	return (double) (dp[y] + g[y] - dp[x] - g[x]) / (f[y] - f[x]);
}
#undef int
int main(int argc, char *argv[]) {
	//FILE_IN("data.in");
	read(n); read(L);
	FOR(i, 1, n, 1) {
		read(c[i]); sum[i] = sum[i - 1] + c[i];
		f[i] = sum[i] + i; g[i] = (f[i] + L + 1) * (f[i] + L + 1);
	} g[0] = (L + 1) * (L + 1);
	FOR(i, 1, n, 1) {
		while(head < tail && slope(q[head], q[head + 1]) <= (f[i] << 1)) head++;
		dp[i] = dp[q[head]] + (f[i] - f[q[head]] - L - 1) * (f[i] - f[q[head]] - L - 1);
		while(head < tail && slope(q[tail], i) < slope(q[tail - 1], q[tail])) tail--; q[++tail] = i;
	} printf("%lld
", dp[n]);
	return 0;
}