第一章 线性方程组与矩阵 1
第一节 矩阵的概念及运算 1
一、矩阵的定义 1
二、矩阵的线性运算 3
三、矩阵的乘法 4
四、矩阵的转置 6
习题1-1 7
第二节 分块矩阵 8
一、分块矩阵的概念 8
二、分块矩阵的运算 10
习题1-2 13
第三节 线性方程组与矩阵的初等变换 14
一、矩阵的初等变换 14
二、求解线性方程组 18
习题1-3 22
第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵 23
一、方阵的逆矩阵 24
二、初等矩阵 25
三、初等矩阵与逆矩阵的应用 26
习题1-4 29
本章小结 31
拓展阅读 32
测试题一 33
第二章 方阵的行列式 35
第一节 行列式的定义 35
一、排列 35
二、ｎ 阶行列式 37
三、几类特殊的ｎ 阶行列式的值 39
习题2-1 41
第二节 行列式的性质 41
一、行列式的性质 41
二、行列式的计算举例 45
三、方阵可逆的充要条件 48
习题2-2 50
第三节 行列式按行(列)展开 51
一、余子式与代数余子式 52
二、行列式按行(列)展开 52
习题2-3 57
第四节 矩阵求逆公式与克莱默法则 58
一、伴随矩阵与矩阵的求逆公式 58
二、克莱默法则 59
习题2-4 62
本章小结 63
拓展阅读 64
测试题二 65
第三章 向量空间与线性方程组解的结构 67
第一节 向量组及其线性组合 67
一、向量的概念及运算 67
二、向量组及其线性组合 69
三、向量组的等价 71
习题3-1 74
第二节 向量组的线性相关性 74
一、向量组的线性相关与线性无关 75
二、向量组线性相关性的一些重要结论 77
习题3-2 80
第三节 向量组的秩与矩阵的秩 81
一、向量组秩的概念 81
二、矩阵秩的概念 82
三、矩阵秩的求法 83
四、向量组的秩与矩阵的秩的关系 85
习题3-3 87
第四节 线性方程组解的结构 88
一、线性方程组有解的判定定理 88
二、齐次线性方程组解的结构 90
三、非齐次线性方程组解的结构 94
习题3-4 96
第五节 向量空间 97
一、向量空间及其子空间 97
二、向量空间的基、维数与坐标 99
三、基变换与坐标变换 101
习题3-5 103
本章小结 105
拓展阅读 106
测试题三 107
第四章 相似矩阵及二次型 109
第一节 向量的内积、长度及正交性 109
一、向量的内积、长度 109
二、正交向量组 110
三、施密特正交化过程 112
四、正交矩阵 113
习题4-1 115
第二节 方阵的特征值与特征向量 115
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法 116
二、方阵的特征值与特征向量的性质 119
习题4-2 121
第三节 相似矩阵 122
一、方阵相似的定义和性质 122
二、方阵的相似对角化 123
习题4-3 124
第四节 实对称矩阵的相似对角化 125
一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 125
二、实对称矩阵的相似对角化 126
习题4-4 129
第五节 二次型及其标准形 129
一、二次型及其标准形的定义 130
二、用正交变换化二次型为标准形 131
三、用配方法化二次型为标准形 134
习题4-5 135
第六节 正定二次型与正定矩阵 136
一、惯性定理 136
二、正定二次型与正定阵 137
习题4-6 138
本章小结 139
拓展阅读 140
测试题四 141
第五章 线性空间与线性变换 143
第一节 线性空间的定义与性质 143
一、线性空间的定义 143
二、线性空间的性质 145
三、线性空间的子空间 146
习题5-1 147
第二节 维数、基与坐标 147
一、线性空间的基、维数与坐标 147
二、基变换与坐标变换 149
习题5-2 150
第三节 线性变换 151
一、线性变换的定义 151
二、线性变换的性质 153
三、线性变换的矩阵表示式 154
习题5-3 158
本章小结 161
拓展阅读 162
测试题五 163
部分习题答案 165