【本文链接】
http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/efficient-method-to-solve-gcd-problem.html
【题目】
求两个正整数的最大公约数Greatest Common Divisor (GCD)。如果两个正整数都很大，有什么简单的算法吗？例如，给定两个数1 100 100 210 001, 120 200 021,求出其最大公约数。
【解法】
【1. 辗转相除法】
辗转相除法：f(x,y) = f(y , x % y)(x>y)
f(42,30) = f(30,12) = f(12,6) = f(6,0) = 6
【代码】
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
/*
version: 1.0 author: hellogiser blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser date: 2014/7/8 */ int gcd(int x, int y) { if(x < y) return gcd(y, x); if(y == 0) return x; else return gcd(y, x % y); } |
此方法中用到了取模运算，对于大整数而言，取模运算（其中用到了除法）开销是非常昂贵的，将成为整个算法的瓶颈。
【2. 辗转相减法】
辗转相减法：f(x,y) = f(y, x-y) (x>y)
f(42,30) = f(30,12) = f(12,18) = f(18,12) = f(12,6)=f(6,6)=f(6,0)=6
【代码】
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
/*
version: 1.0 author: hellogiser blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser date: 2014/7/8 */ int gcd(int x, int y) { if(x < y) return gcd(y, x); if(y == 0) return x; else return gcd(y, x - y); } |
这个算法免去了大整数除法的繁琐，但同样也有不足之处。最大的瓶颈是迭代的次数过多，如果出现（1 000 000 000,1）这类情况，那就相当让人郁闷了。
【3. 奇偶法】
奇偶法：
此种方法是将解法1)和解法2)结合起来，降低计算复杂度的同时也降低迭代次数。
1:若 x, y均为偶数，f (x,y) = 2 * f(x / 2, y / 2) = 2 * f(x >> 1, y >> 1)
2:若x为偶，而y为奇，f (x , y ) = f (x / 2, y) = f ( x >> 1, y)
3:若x为奇，y为偶，f ( x, y) = f (x , y / 2) = f(x , y >> 1)
4:若x,y均为奇，f ( x, y ) = f (y , x - y)
在f(x, y) = f(y, x - y)之后，(x - y)是一个偶数，下一步一定会有除以2的操作。
因此最坏情况下时间复杂度为O(log2 (max(x,y)))。
f (42 , 30 ) = 2 * f (21,15)
= 2 * f (15,6)
= 2 * f (15,3)
= 2 * f (3,12) =2 * f (12,3)
= 2 * f (6,3)
= 2 * f (3,3)
= 2 * f (3,0)
= 2 * 3
= 6
【代码】
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/*
version: 1.0 author: hellogiser blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser date: 2014/7/8 */ bool IsEven(int x) { return (x & 0x1) == 0; } int gcd(int x, int y) { if(x < y) return gcd(y, x); if(y == 0) return x; else { if(IsEven(x)) { if(IsEven(y)) //case 1,x,y均为偶数 return 2 * gcd(x >> 1, y >> 1); else //case 2，x为偶，y为奇 return gcd(x >> 1, y); } else { if(IsEven(y)) //case 3，x为奇，y为偶 return gcd(x, y >> 1); else //case 4，x,y均为奇 return gcd(y, x - y); } } } |
【参考】
http://blog.csdn.net/ajioy/article/details/7478008
http://blog.csdn.net/rein07/article/details/6739688
【本文链接】
http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/efficient-method-to-solve-gcd-problem.html