【JZOJ6287】扭动的树【区间dp】

题目大意：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/6287
给出$n$个点的$val$和$key$，构造一棵BST，使得相邻两点的$key$值不互质。定义一个节点的$sum$等于它子树中所有点的$val$之和。求最大的$sum^{n}_{i=1}sum_i$。

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思路：

把这一棵BST的中序便利取出来，必然满足$val_i<val_{i+1}$。
所以我们把所有点的$val$和$key$从小到大排序就得到了这棵BST的中序便利。我们只要在其中选择若干节点为根即可。
那么设$f[l][r][1/2]$表示区间$[l,r]$为左子树$/$右子树时的最大答案。那么枚举区间$[l,r]$的根$i$，那么就有方程
$f[l][r][id]=max{f[l][i-1][1]+f[i+1][r][2]+sum[l][r]}$
记忆化后总共状态数为$O(n^3)$级别，所以时间复杂度也为$O(n^3)$。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=310;
ll ans,f[N][N][3],Gcd[N][N],sum[N];
int n;

struct node
{
	ll key,val;
}a[N];

bool cmp(node x,node y)
{
	return x.key<y.key;
}

void dp(int l,int r,int id)
{
	if (l>r) return;
	if (f[l][r][id]) return;
	int root=(id==1?r+1:l-1);
	for (int i=l;i<=r;i++)
		if (Gcd[i][root]>1)
		{
			dp(l,i-1,1); dp(i+1,r,2);
			if (f[l][i-1][1]<0 || f[i+1][r][2]<0) continue;
			f[l][r][id]=max(f[l][r][id],f[l][i-1][1]+f[i+1][r][2]+sum[r]-sum[l-1]);
		}
	if (!f[l][r][id]) f[l][r][id]=-1;
}

int main()
{
	freopen("tree.in","r",stdin);
	freopen("tree.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld",&a[i].key,&a[i].val);
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		sum[i]=sum[i-1]+a[i].val;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			Gcd[i][j]=__gcd(a[i].key,a[j].key);
	ans=-1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		dp(1,i-1,1); dp(i+1,n,2);
		if (f[1][i-1][1]<0 || f[i+1][n][2]<0) continue;
		ans=max(ans,f[1][i-1][1]+f[i+1][n][2]+sum[n]);
	}
	printf("%lld
",ans);	
	return 0;
}