【洛谷P2267】琪琪的项链【dp】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P2267
给出一个数列，求选择其中若干个数字从左往右构成的排列有多少个。

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思路：

设$f[i]$表示最后一个数字是第$i$个数字的排列个数。

设位置$i$的数字是$a[i]$，那么能对其做成贡献的区间就是$[x,i-1]$，其中$a[x]=a[i]$且$x$尽量大。

因为取任意一个位置$[1,x-1]$的数字，有一下三种选择方法：

• 选择$x$，不选择$i$，那么这个位置就对$x$做了贡献。
• 选择$i$，不选择$x$，这样形成的序列就和上一行所述序列一样，就重复了。
• 选择$x$和$i$，这样依然是对$x$做了贡献。

所以我们就得到了方程
$f[i]=sum^{i-1}_{j=x}f[j] (a[x]=a[i],a[x+1sim i-1]≠a[i])$
预处理出对于一个位置$i$的$last[i]$表示$a[last[i]]=a[i]$且$last[i]$尽量大。然后前缀和维护一下就好了。
时间复杂度$O(n)$

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=500010;
int n,MOD,a[N],b[N],last[N];
ll f[N],sum[N];

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&MOD);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		b[i]=a[i];
	}
	sort(b+1,b+1+n);
	int tot=unique(b+1,b+1+n)-b-1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=lower_bound(b+1,b+1+tot,a[i])-b;  //离散化
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		if (last[a[i]]) f[i]=(sum[i-1]-sum[last[a[i]]-1])%MOD;
			else f[i]=(sum[i-1]+1)%MOD;  //判断这个颜色是不是第一个出现，如果是，就包含单独这一个颜色的方案，所以+1
		sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%MOD;
		last[a[i]]=i;
	}
	printf("%lld",(sum[n]%MOD+MOD)%MOD);
	return 0;
}