【JZOJ2850】Fibonacci进制【模拟】【递推】

题目大意：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/3850

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思路：

打一个表不难发现，长度为$i$的$Fibonacci$进制数正好有$fib[i-1]$个。
考虑如何推出长度不超过$i$的$Fibonacci$进制数中1的个数$sum[i]$。
长度为$i$的$Fibonacci$进制数，它的第一位一定是1，第二位一定是0，而后面的位数就0和1都可以。只要保证没有两个1相邻即可。所以就有
$sum[i]=sum[i-2]+fib[i-1]+sum[i-1]$
如果$pos$为前$n$项所包含的$Fibonacci$进制数中，长度为$pos-1$的被完全包含。那么
$ans=sum[pos-1]+ ext{完整的长度为pos的数字 + 一个残缺的长度为pos的数字}$
其中完整的长度为$pos$的数字$dfs$递归计算，一个残缺的长度为$pos$的数字利用递归中记录的最后一个数字的信息扫描即可。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100;
ll n,ans,pos,fib[N],sum[N];
int m,a[N];

void dfs(ll s)
{
	ans+=s; s--;
	if (s<=0) return;
	for (int i=1;i<=m;i++)
		if (s>=fib[i-1]) s-=fib[i-1];
		else
		{
			ans+=sum[i-1];
			if (s<=0) return;
			a[i]=1;
			dfs(s);
			return;
		}
}

int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	fib[0]=fib[1]=sum[1]=m=1;
	do{
		m++;
		fib[m]=fib[m-1]+fib[m-2];
		sum[m]=fib[m-1]+sum[m-2]+sum[m-1];
	}while (fib[m]<=1000000000000000LL);
	for (int i=1;i<=m;i++)
		if (n>=fib[i-1]*i) n-=fib[i-1]*i;
		else
		{
			pos=i;
			ans=sum[i-1];
			break;
		}
	a[pos]=1;
	dfs(n/pos);
	a[1]++;
	for (int i=1;i<=m;i++)
		if (a[i] && a[i+1])
		{
			a[i]=a[i+1]=0;
			a[i+2]=1;
		}
	for (ll i=n%pos,j=pos;i;i--,j--)
		ans+=a[j];
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}