有上下界的网络流
1.无源汇的可行流
首先一个无源汇的可行流必须要满足每个点的流量平衡，我们记为(f_{out}=f_{in})。
通常，网络流这限制了上界，而无法限制下界。所以对于下界，我们的处理方法就是先让所有边的流量达到下界(d)，然后将一条流量在([d,u])的边的流量设为(u-d)。这样就没有下界的问题了。
显然，这么操作后的结果很可能不是一个可行流，所以我们需要继续调整。
对于一个点(v)，设调整后它获得的入边和出边的流量分别为(g_{in},g_{out})，原始入边和出边的下界之和分别为(d_{in},d_{out})。因为流量平衡，所以(g_{in}+d_{in}=g_{out}+d_{out})。假设(d_{out}>d_{in})，则(g_{in}-g_{out}=d_{out}-d_{in})，也就是说流入的流量要大于流出的流量，反之也是一样的道理。
然后对于(d_{out}>d_{in})的点，我们建立超级源连向它，流量为(d_{out}-d_{in})，表示它要向外额外输出流量；反过来就建立超级汇，将(d_{out}<d_{in})的点连向超级汇，表示它要额外输入流量。
原图上的边就按上面所说的方式处理。
仔细一想就会发现，超级源的所有出边的流量和与超级汇的所有入边流量和相同。如果我们跑一边SAP发现满流，则存在可行流。每条边的流量为残余网络中的流量+下界。
2.有源汇的可行流
首先有源汇与无源汇的区别在于：有源汇可行流中，源点和汇点不一定流量平衡，但是源点多余的流量=汇点的多余流量。
解决有源汇问题时我们通常将其转化为无源汇的问题，具体方法就是连一条((T,S,infty,0))的边。这样的话，汇点多余的输出就可以通过这条边进入源点。
然后我们建立超级源SS与超级汇TT，之后判断是否有可行流就用1的方法。
3.有源汇的最大/最小流
处理这类问题时我们先用2的方法做一遍。
此时的源汇之间的流量就是那条无穷边的流量，我们记为(w)。注意到(w)不一定是最大/最小流，所以我们还需做下面的事情。
最大流
因为(S)与(T)之间可能存在富余的边，导致没有得到最大流。
我们将超级源和超级汇以及与他们相连的边拆掉，然后在残余网络上在跑一次最大流。得到新的最大流与(w)的和就是答案。
为什么跑最大流的时候不会破坏流量平衡？
因为残余网络是流量平衡的(除了源汇点)，在跑最大流的时候每个中间节点流入的流量与流出的流量是相同的，所以依然满足流量平衡。
最小流
法1：与最大流类似。我们先得到了(w)之后我们尽量减少(S)和(T)之间的流量。于是我们拆了超级源和超级汇之后“反着”跑最大流，也就是拿(T)当源点，(S)当汇点跑最大流。可以这么理解：反边增加流量相当于正边减少流量。答案就是(w)-最大流。
法2：当然也可以不用改变图，直接反着跑最大流，答案就是(INF)-最大流。这里(INF)就是我们((T,S,infty,0))的上界。
正确性：首先我们设我们按法1得到的最大流为(k)，那么法2得到的最大流为(k+(INF-w))。因为((T,S,infty,0))流了(w)，所以其反边有(INF-w)的流量。
答案(=INF-(k+(INF-w))=w-k)。与法1等价的。
4.例题(Loj)
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 205
#define M 15005
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n,m;
int S,T;
int flow[N];
struct load {
int to,next,flow;
}s[M<<2];
int h[N],cnt=1;
void add(int i,int j,int flow) {
s[++cnt]=(load) {j,h[i],flow};h[i]=cnt;
s[++cnt]=(load) {i,h[j],0};h[j]=cnt;
}
int gap[N],dis[N];
ll dfs(int v,int maxf) {
if(v==T) return maxf;
int ret=0;
for(int i=h[v];i;i=s[i].next) {
int to=s[i].to;
if(dis[to]+1==dis[v]&&s[i].flow) {
int dlt=dfs(to,min(maxf-ret,s[i].flow));
s[i].flow-=dlt;
s[i^1].flow+=dlt;
ret+=dlt;
if(ret==maxf||dis[S]==n+2) return ret;
}
}
if(!(--gap[dis[v]])) dis[S]=n+2;
gap[++dis[v]]++;
return ret;
}
int sap() {
gap[0]=n+2;
int ans=0;
while(dis[S]<n+2) ans+=dfs(S,1<<29);
return ans;
}
int D[M];
int main() {
n=Get(),m=Get();
T=n+1;
int a,b,u,d;
for(int i=1;i<=m;i++) {
a=Get(),b=Get(),d=Get(),u=Get();
add(a,b,u-d);
flow[a]-=d;
flow[b]+=d;
D[i]=d;
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(flow[i]>0) add(S,i,flow[i]);
else if(flow[i]<0) add(i,T,-flow[i]);
}
sap();
for(int i=h[S];i;i=s[i].next) {
if(s[i].flow) {
cout<<"NO";return 0;
}
}
cout<<"YES
";
for(int i=1;i<=m;i++) {
cout<<D[i]+s[(i*2)^1].flow<<"
";
}
return 0;
}
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 505
#define M 250005
#define INF (int)1e8
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n,m;
int S,T;
int st,ed;
struct load {
int to,next;
int flow,d;
}s[M<<1];
int h[N],cnt=1;
void add(int i,int j,int d,int u) {
s[++cnt]=(load) {j,h[i],u-d,d};h[i]=cnt;
s[++cnt]=(load) {i,h[j],0,d};h[j]=cnt;
}
int gap[N],dis[N];
int dfs(int v,int maxf) {
if(v==T) return maxf;
int ret=0;
for(int i=h[v];i;i=s[i].next) {
int to=s[i].to;
if(s[i].flow>0&&dis[to]+1==dis[v]) {
int dlt=dfs(to,min(maxf-ret,s[i].flow));
s[i].flow-=dlt;
s[i^1].flow+=dlt;
ret+=dlt;
if(dis[S]>=n+2||ret==maxf) return ret;
}
}
if(!(--gap[dis[v]])) dis[S]=n+2;
gap[++dis[v]]++;
return ret;
}
int sap() {
memset(dis,0,sizeof(dis));
memset(gap,0,sizeof(gap));
gap[0]=n+2;
int ans=0;
while(dis[S]<n+2) ans+=dfs(S,1<<29);
return ans;
}
int flow[N];
int main() {
n=Get(),m=Get();
st=Get(),ed=Get();
int a,b,u,d;
for(int i=1;i<=m;i++) {
a=Get(),b=Get(),d=Get(),u=Get();
add(a,b,d,u);
flow[a]-=d;
flow[b]+=d;
}
int tag=cnt+1;
int sum=0;
add(ed,st,0,INF);
S=0,T=n+1;
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(flow[i]>0) add(S,i,0,flow[i]),sum+=flow[i];
else if(flow[i]<0) add(i,T,0,-flow[i]);
}
int now=sap();
if(now!=sum) {cout<<"please go home to sleep";return 0;}
S=st,T=ed;
int ans=0;
for(int i=h[ed];i;i=s[i].next) {
if(s[i].flow>1e7) {
ans+=s[i^1].flow;
break;
}
}
for(int i=tag;i<=cnt;i++) s[i].flow=0;
ans+=sap();
cout<<ans;
return 0;
}
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 50005
#define M 200005
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n,m,st,ed;
int S,T;
struct load {
int to,next;
ll flow;
}s[M<<1];
int h[N],cnt=1;
void add(int i,int j,ll flow) {
s[++cnt]=(load) {j,h[i],flow};h[i]=cnt;
s[++cnt]=(load) {i,h[j],0};h[j]=cnt;
}
int flow[N];
int dis[N],gap[N];
int cur[N];
ll dfs(int v,ll maxf) {
if(v==T) return maxf;
ll ret=0;
for(int &i=cur[v];i;i=s[i].next) {
int to=s[i].to;
if(s[i].flow&&dis[to]+1==dis[v]) {
ll dlt=dfs(to,min(maxf-ret,s[i].flow));
s[i].flow-=dlt;
s[i^1].flow+=dlt;
ret+=dlt;
if(ret==maxf||dis[S]>=n+2) return ret;
}
}
if(!(--gap[dis[v]])) dis[S]=n+2;
gap[++dis[v]]++;
cur[v]=h[v];
return ret;
}
ll sap() {
memset(dis,0,sizeof(dis));
memset(gap,0,sizeof(gap));
gap[0]=n+2;
ll ans=0;
for(int i=0;i<=n+2;++i) cur[i]=h[i];
while(dis[S]<n+2){
ans+=dfs(S,1<<29);
}
return ans;
}
int main() {
n=Get(),m=Get();
st=Get(),ed=Get();
int a,b,u,d;
for(int i=1;i<=m;i++) {
a=Get(),b=Get(),d=Get(),u=Get();
add(a,b,u-d);
flow[b]+=d;
flow[a]-=d;
}
add(ed,st,1ll<<50);
int tag=cnt+1;
S=0,T=n+1;
ll sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(flow[i]>0) add(S,i,flow[i]),sum+=flow[i];
else if(flow[i]<0) add(i,T,-flow[i]);
}
ll now=sap();
if(now!=sum) {cout<<"please go home to sleep";return 0;}
for(int i=tag;i<=cnt;i++) s[i].flow=0;
S=ed,T=st;
cout<<(1ll<<50)-sap();
return 0;
}