「SDOI 2017」新生舞会

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(Describe)

有一场舞会,n个男生,n个女生,要组成n对舞伴,男生i和女生j组队的适合度是(a_{ij}),
不适合度是(b_{ij}),
让你求(max(sum(适合度)/sum(不适合度)))

(Solution)

这道题是(01)分数规划的好题目。我们首先拆分这个式子:
令(A_i)为舞伴的适合度,(B_i)为不适合度

[C=sum_{i=1}^{i<=n}a_i/sum_{i=1}^{i<=n}b_i ]

[sum_{i=1}^{i<=n}a_i=sum_{i=1}^{i<=n}b_i*C ]

[sum_{i=1}^{i<=n}a_i-sum_{i=1}^{i<=n}b_i*C=0 ]

则我们可以对C二分一个数(mid)

[令:ans=max(sum_{i=1}^{i<=n}a_i-sum_{i=1}^{i<=n}b_i*mid) ]

如果(ans>0)则(ans)比(C)要小,反之比(C)大

那么这个(max(ans)怎么求呢？)
这个随便用个费用流搞一搞就好了;

• 把每个人拆成(x)和(x')
• 将(S)和(x)相连，流量为1，费用为0
• 将(x')和(T)相连，流量为1，费用为0
• 对于两个人(x,y)我们将(x)和(y')相连，流量为1，费用为(a[x][y]-mid*b[x][y])(因为我的spfa是跑的最短路，所以我写的是-a[x][y]+mid*b[x][y],最后跑出来的答案的绝对值就是最大费用最大流);
• 跑一遍最大费用最大流

(Code)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double inf=1e9+7;
typedef long long ll;
int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
        f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')
        x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
struct node{
    int to,next,v;
	double w;
}a[1000001];
int f[10001],pre[10001],fa[10001],s,t=1000,head[10001],cnt;
double dis[10001];
void add(int x,int y,int c,double v){
    a[++cnt].to=y,a[cnt].next=head[x],a[cnt].v=c,a[cnt].w=v,head[x]=cnt;
	a[++cnt].to=x,a[cnt].next=head[y],a[cnt].v=0,a[cnt].w=-v,head[y]=cnt;
}
queue<int>q;
int spfa(){
    q.push(s);
	for(int i=s;i<=t;i++)
		dis[i]=inf;
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[s]=1,dis[s]=0;
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();
        q.pop();
        f[now]=0;
        for(int i=head[now];i;i=a[i].next){
            int v=a[i].to;
            if(dis[v]>dis[now]+a[i].w&&a[i].v){
                dis[v]=dis[now]+a[i].w,pre[v]=i,fa[v]=now;
                if(!f[v])
                    f[v]=1,q.push(v);
            }
        }
    }
    if(dis[t]!=inf)
        return 1;
    return 0;
}
double ans1,ans;
void anser(){
	ans=0,ans1=0;
    while(spfa()){
        int minx=2147483647;
        for(int i=t;i!=s;i=fa[i])
            minx=min(minx,a[pre[i]].v);
        ans+=minx,ans1+=dis[t]*minx;
        for(int i=t;i!=s;i=fa[i])
            a[pre[i]].v-=minx,(pre[i]%2)?a[pre[i]+1].v+=minx:a[pre[i]-1].v+=minx;
    }
}
double A[1001][1001],B[1001][1001];
int n;
bool check(double x){
	memset(head,0,sizeof(head)),cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		add(s,i,1,0),add(i+n,t,1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++){
			add(i,j+n,1,-A[i][j]+x*B[i][j]);
		}
	anser();
	return (-ans1)>=0;
}
int main(){
	n=read();
	double l=0,r=10000,maxx=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			cin>>A[i][j];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			cin>>B[i][j];
	while(r-l>=1e-7){
		double mid=(l+r)*0.5;
		if(check(mid))
			l=mid,maxx=max(maxx,mid);
		else r=mid;
	}
    printf("%0.6lf",maxx);
}