动态规划的思想来求解字符串分割问题

LeetCode WordBreak原题

Given a string s and a dictionary of words dict, determine if s can be segmented into a space-separated sequence of one or more dictionary words.

For example, given
s = "leetcode",
dict = ["leet", "code"].

Return true because "leetcode" can be segmented as "leet code".

0，问题介绍

给定一个包含了若干单词的字典以及一个字符串，将该字符串分割，分割后的得到的单词必须由字典中的单词组成。

1，动态规划思想的介绍---参照《算法导论》中关于动态规划的分析来分析此问题

①最优子结构

要判断整个字符串 s[0..length] 能否被分割，可先判断 s[0...length -1] 能否被分割；而判断 s[0...length -1] 能否被分割，可先判 s[0...length-2] 能否被分割，……直至判断 s[0] 能否被分割，而 s[0] 能否被分割是显而易见的---(查找 s[0] 在不在字典中即可--dict.contains(s[0])???)

递归表达式如下：

②子问题的总个数是多少？每个子问题可以有多少种选择？算法的时间复杂度是多少？

子问题的个数一个有 n 个，n为字符串的长度。每个子问题有 2 种选择，即要么可以分割，要么不可以分割。从这个角度来看，算法的时间复杂度为 O(n)。但是，这里没有考虑每个子问题做选择时，需要执行多少步骤，代价是多大？从下面代码的第 18 行 for 循环中可以看出，第 i 个子问题 需要循环 i 次，那么时间复杂度为 1+2+3+……+n = O(n^2)。

③用到了 动态规划中的重叠子问题

动态规划中的重叠子问题是指，在将原问题分解的过程中，得到了若干子问题，再将这些子问题分解时，又得到若干更小子问题……，这些子问题中，有很多是重复的。这个特点与分治算法分解问题时不同，分治算法分解得到的子问题一般是独立的，各个子问题之间没有太多联系。基于动态规划子问题的重复性，因此，在求解出某个子问题之后，将它的结果记录下来，当下一次再碰到此问题时，直接查找它的结果，而不是再一次计算该子问题。

在 wordBreak 问题中的第2点动态规划求解思路分析(下面 第2点)中，求解 match[i] 的值可能需要用到 match[i-1]、match[i-2]、……match[0]的值；

求解match[i-1]的值 可能需要用到 match[i-2]、match[i-3]、match[0]。match[i] 即对应 s[0..i-1]能否分割这个问题，再结合动态规划自底向上求解问题的性质，把"底层"问题的求解结果记录下来，在求解到“上层”问题时，查找“底层”问题的结果，这种方式可以提高算法的运行效率。这也是《算法导论》中求LCS问题中提到的“查表”。具体的代码体现如下：求mathc[i]的值时，需要查找match[j]的值是多少。

for (int i = 1; i < length + 1; i++) {
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    if (match[j] && wordDict.contains(s.substring(j, i))) {
                        match[i] = true;

2，用动态规划求解的思路

①match[s.length]  用来表示字符串 s[0...length-1]  每部分能否分割。初始时，match[0]=true; match[i] 表示 s[0...i-1] 这段字符能否分割。

match[s.length] 则表示整个字符串(s[0...length-1])能否分割。

②若match[i]=true，表示 s[0...i-1]能够分割，则需要满足以下条件中的任一 一个：

a)match[0]==true && s[0...i-1] 在字典中；b)match[1] == true && s[1...i-1] 在字典中；c)match[2] == true && s[2...i-1]在字典中；.....

d)match[i-1]==true && s[i-1] 在字典中。 s[i...j]在字典中表示：字符串s中由下标为 i 到 j 的子字符串是字典中的某个单词。

具体分析：设 s = "aaaaa",dict = ["aaaa","aaa"]

由于 "a" 不在dict中，故match[1] = false; "aa" 不在dict中 且 (match[1]=false && "a" 不在dict中)，故match[2]=false，对于 match[3]的值，

先判断 "aaa" 是否在dict中，由于 "aaa"在dict 中，故 match[3] = true，对于match[4]，由于"aaaa"在dict中故 match[4] = true，

对于 match[5]，先判断 "aaaaa"，由于它不属于dict ；再继续判断，(match[1] = true?) and (s[1...5] exist in dict?)，虽然，s[1...5]="aaaa" exist in dict 为true，但是 match[1] = false，故此时还不能判断match[5]；

将 "aaaaa" 先分成 "a" ，再分成 "aaaa" 是否可以？
由于 "a" 不在 dict中 因为，match[1] == false
尽管 "aaaa" 在 dict 中，但还是故不能这样分，因为 "a" 不在 dict 中
故match[2] 赋值为 false

再继续判断，(match[2] = true?) and (s[2...5] exist in dict?)....

将 "aaaaa" 先分成 "aa"，再分成 "aaa"，是否可以？
由于 "aa" 不在 dict 中，因为判断match[2] == false.
尽管 "aaa" 在dict 中，但还是不能这样分
故match[3]  赋值为 false

直至判断到

match[4]==true? and s[4...4] == "a" exist in dict?? 此时，尽管match[4] == true 但是 s[4]== "a" 为 false，故match[5]= false.

即对于 设 s = "aaaaa",dict = ["aaaa","aaa"]，程序将返回false.

3，完整代码如下：

    import java.util.HashSet;
    import java.util.Set;

    public class Solution {

        public boolean wordBreak(String s, Set<String> wordDict) {
            // 参数校验
            if (s == null || s.length() < 1 || wordDict == null || wordDict.size() < 1) {
                return false;
            }

            // 标记是否匹配，match[i]表示 str[0, i-1]可以分割
            int length = s.length();
            boolean[] match = new boolean[length + 1];
            match[0] = true;

            for (int i = 1; i < length + 1; i++) {
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    if (match[j] && wordDict.contains(s.substring(j, i))) {
                        // s(0,n) = s(0,i) + s(i,j) + s(j,n)
                        match[i] = true;
                        break;
                    }
                }
            }
            return match[length];
        }
        public static void main(String[] args) {
            Solution s = new Solution();
            Set<String> set = new HashSet<String>();
            set.add("aaaa");
            set.add("aaa");
            boolean result = s.wordBreak("aaaaa", set);
            System.out.println(result);
        }
        
    }