有N个数的数组，没有顺序。现在的问题是让你在数组中找出两个数，使得这两个数的和尽可能的接近0。
想到的的方法是尝试所有数对<xi,xj>的组合，之后找出其中和的绝对值最小的数对即可。但是这样做的时间复杂度是O(N^2)，有没有更快一点的方法呢？
这里给出一个O(NlogN)时间复杂度的算法。
有一种比较直观的做法。
对数组排好序之后。如果数字全部是正数，那么取最小的两个数的和。如果数字全部是负数，则取最大的两个数字的和。如果数字有正有负。那么我们必须枚举每一个xi，之后用二分在数组中找小于等于-xi的最大值和大于等于-xi的最小值。能与xi构成和的绝对值最小的数字，肯定就是这两个数字中的某一个。所有的xi都枚举过之后，我们就可以找出和的绝对值最小值了。时间复杂度是O(NlogN)。
还有一种比较简便的做法，但是证明有些复杂。
1:对数组中的数进行从小到大排序。
2:设置两个游标，一个指向第一个数，另一个指向最后一个数，之后进行如下操作：把游标处的两个数相加取绝对值，与记录当前已经得到的最小绝对值比较，小则记录。之后对游标处的数的绝对值进行比较，移动指向数字绝对值较小的游标(如果是左面的游标指向的数字绝对值小，则向右移动，否则右面的游标向左移动)。循环此步骤，直至找到最小绝对值0或者游标相遇。
举个例子： 原始序列： -2 3 4 -7 9 5 排序后： -7 -2 3 4 5 9 寻找过程： res = MAX_INF; -7 -2 3 4 5 9 | | res = 2 -7 -2 3 4 5 9 | | res = 2 -7 -2 3 4 5 9 | | res = 2 -7 -2 3 4 5 9 | | res = 2 -7 -2 3 4 5 9 | | res = 1 -7 -2 3 4 5 9 | res = 1
虽然给出了这样的算法，但是怎么证明该算法是正确的？以下的证明很繁琐。
证明:
设排好序的序列为
x[1],x[2],......,x[i],x[i+1],......,x[j],x[j+1],......,x[n-1],x[n]
假设最优解为<x[i],x[j]>
x[1],x[2],......,x[i],x[i+1],......,x[j],x[j+1],......,x[n-1],x[n]
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如果算法是正确的，那么必须得证明算法执行过程中游标不会错过最优解。
初始时，游标为<1, n>，显然没有错过最优解。之后每步，都有一个游标移动。那么肯定有一个游标会先到达最优位置。例如左面的游标最先到达x[i]的位置，而另一个游标的位置为k>j
x[1],x[2],....,x[i],x[i+1],....,x[j],x[j+1],....x[k],....,x[n-1],x[n]
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下面分情况讨论：
(1): x[i] > 0
这种情况下，显然 x[j] > 0 , x[k] > 0，并且x[i]+x[k] > x[i]+x[j]，那么把右面的游标向左移动会更优，并且不会错过最优解。
(2): x[i] < 0，x[j] > 0
这种情况下又分3中小情况。
2.1: x[i]+x[j] > 0
这种情况下，x[i]+x[k] > 0 并且x[i]+x[j] < x[i]+x[k] (因为x[j]<x[k])，那么把右面的游标向左移动会更优，并且不会错过最优解。
2.2: x[i]+x[j] < 0, x[i]+x[k] < 0
这种情况下，显然|x[i]+x[k]| < |x[i]+x[j]|，推出<x[i],x[j]>不是最优解，这与假设相矛盾，所以在遇到最优解之前，这种情况不会出现。
2.3: x[i]+x[j] < 0, x[i]+x[k] > 0
这种情况下有|x[i]+x[j]| < x[i]+x[k]=>-x[i]-x[j]<x[i]+x[k]=>x[j]+x[k] > -2*x[i] => x[k] > -x[i] = |x[i]| (因为x[j] < -x[i])。也就是说，在这种情况下，我们会移动位置为k那个游标，而不会移动位置为i那个游标，所以不会错过最优解。
(3): x[i] < 0, x[j] < 0
这种情况下又继续分成两种小情况。
3.1 x[k] < 0
这种情况下<x[i],x[j]>不是最优解，这与假设相矛盾，所以在遇到最优解之前这种情况不会出现。
3.2 x[k] > 0
这种情况下也分两种小情况。
3.2.1 x[i]+x[k] < 0
|x[i]+x[j]| < |x[i]+x[k]| => -x[i]-x[j] < -x[i]-x[k] => x[j] > x[k],这与x[j] < x[k]相矛盾，因为x是排好序的数组。所以这种情况在遇到最优解之前不会出现。
3.2.2 x[i]+x[k] > 0
|x[i]+x[j]| < |x[i]+x[k]| => -x[i]-x[j] < x[i]+x[k] => x[k]+x[j] > -2*x[i]=> x[k] > -2*x[i]-x[j] => x[k] > |x[i]|。也就是说，在这种情况下，我们会移动位置为k那个游标，而不会移动位置为i那个游标，所以不会错过最优解。
由对称性可证明当右面的游标先到达x[j]时这种情况。
综上所述可知，只要重复算法的过程，那么我们的游标肯定能够到达最优解<i,j>的状态，而我们采用的方法又是不断记录最小值，那么我们肯定能够得到最优解。
三楼给出了一个非常简便的方法：按照绝对值排序。仔细想想，其实就是我上面的方法的另一种形式。
比如，
-7 -2 3 4 5 9
按照3楼的方法，将会是 -2 3 4 5 7 9取相邻两数值差绝对值的最小值。如果我们按照绝对值由大到小排序，则序列为9 7 5 4 3 -2，那么这时取相邻两个数的绝对值等价于方法二的两个游标。