队列的实现：公式化描述

队列也是一种特殊的线性表。队列的插入和删除操作分别在线性表的两端进行，因此，队列是一个先进先出（ first-in-first-out, FIFO）的线性表。

1、抽象数据类型

定义：队列（ q u e n e）是一个线性表，其插入和删除操作分别在表的不同端进行。添加新元素的那一端被称为队尾 ( r e a r )，而删除元素的那一端被成为队首 ( f r o n t )。
所以，队列是一个先进先出（ F I F O）的线性表，而堆栈是一个先进后出（ L I F O）的线性表。

ADT：

2、公式化描述

队列可以用数组描述也可以用链表描述，此处先以数组即公式化的描述实现

第一种方式：location(i)=i-1

把数组q u e u e [ M a x S i z e ] 描述成一个队列，那么第一个元素为 q u e u e [ 0 ]，第二个元素为 q u e u e [ 1 ]，…。 f r o n t总是为 0， r e a r始终是最后一个元素的位置，队列的长度为 r e a r + 1 。对于一个空队列，有 r e a r =－ 1 。

向队列中添加一个元素时，需要把 r e a r增1 ，并把新元素放入 q u e u e [ r e a r ]。这意味着一次添加操作所需要的时间为 O ( 1 )。删除一个元素时，把位置 1 至位置n的元素分别左移一个位置，因此删除一个元素所花费的时间为 O( n )，其中 n为删除完成之后队列中的元素数。如此看来，公式应用于堆栈，可使堆栈的插入和删除操作均耗时O ( 1 )，而应用于队列，则使队列的删除操作所需要的时间达到O ( n )。

第二种方式：
loacation(i)=location(1)+i-1
从队列中删除一个元素时，公式不要求把所有的元素都左移一个位置，只需简单地把location ( 1 )增加 1 即可。每次删除操作将导致 f r o n t右移一个位置。当 r e a r < M a x S i z e - 1 时才可以直接在队列的尾部添加新元素。若 r e a r = M a x S i z e - 1 且f r o n t > 0时（表明队列未满） ，为了能够继续向队列尾部添加元素，必须将所有元素平移到队列的左端（如图 6 - 4所示），以便在队列的右端留出空间。对于使用公式（ 1 ）的队列来说，这种平移操作将使最坏情况下的时间复杂性增加O( 1 )，而对于使用公式(2）的队列来说，最坏情况下的时间复杂性则增加了O ( n )。所以，使用公式（2）在提高删除操作执行效率的同时，却降低了添加操作的执行效率。

第三种方式：

location(i)=(location(1)+i-1)%MaxSize

队列的添加和删除操作在最坏情况下的时间复杂性均变成 O( 1 )。这时，用来描述队列的数组被视为一个环（如图 所示） 。在这种情况下，对 f r o n t的约定发生了变化，它指向队列首元素的下一个位置（逆时针方向） ，而 r e a r的含义不变。向图  a中的队列添加一个元素将得到图 b 所示的队列，而从图 b 的队列中删除一个元素则得到图c 所示的队列。

当且仅当 front=rear 时队列为空。初始条件f r o n t = r e a r = 0定义了一个初始为空的队列。现在需要确定队列为满的条件。如果不断地向图 6-5b 的队列添加元素，直到队列满为止，这时有 f r o n t = r e a r，竟然与队列为空的条件完全一样！因此，我们无法区分出队列是空还是满。为了避免这个问题，可以不允许队列被填满。为此，在向队列添加一个元素之前，先判断一下本次操作是否会导致队列被填满，如果是，则报错。因此，队列的最大容量实际上是 M a x S i z e - 1。

3、C++代码实现

队列定义：

#ifndef ARRAYQUEUE_H
#define ARRAYQUEUE_H
#include <iostream>
#include <new>

#include "exceptionerror.h"
template<class T>
class ArrayQueue
{
    
public:
    ArrayQueue(const int &MaxQueueSize = 10);
    ~ArrayQueue()
    { 
        if (queue!=NULL)
        {
            delete[] queue;
        }
     }    
    bool IsEmpty()const{ return front == rear; }
    bool IsFull()const{ return (((rear + 1) % MaxSize == front) ? true : false); }
    T First()const;
    T Last()const;
    ArrayQueue<T>& Add(const T& x);
    ArrayQueue<T>& Delete(T& x);
    int Quantity()const;//返回队列中的元素个数
    friend std::ostream& operator<<(std::ostream & output, const ArrayQueue<T>& q)
    {
        if (q.IsEmpty())
        {
            output << "queue is empty" << std::endl;
            return output;
        }
        
        for (int i = (q.front + 1) % q.MaxSize; i <= q.rear; (++i) %= q.MaxSize)
        {
        output << q.queue[i] << " ";
        }
        
        output << std::endl;
        return output;
    }
private:
    int front;
    int rear;
    int MaxSize;
    T *queue;
};

template<class T>
ArrayQueue<T>::ArrayQueue(const int &MaxQueueSize=10):MaxSize(MaxQueueSize+1),front(0),rear(0)
{
    if (MaxSize>1)
    {
        try
        {
            queue = new T[MaxSize];
        }
        catch (const std::bad_alloc& e)
        {
            std::cerr << "memory error" << std::endl;
        }        
        
    }
}

template<class T>
T ArrayQueue<T>::First()const
{
    if (IsEmpty())
        throw OutofBounds();

    return queue[(front + 1) % MaxSize];
}

template<class T>
T ArrayQueue<T>::Last()const
{
    if (IsEmpty())
        throw OutofBounds();

    return queue[rear%MaxSize];
}

template<class T>
ArrayQueue<T>& ArrayQueue<T>::Add(const T& x)
{
    if (IsFull())
        throw NoMem();
    rear = (rear + 1) % MaxSize;
    queue[rear] = x;
    return *this;
}

template<class T>
ArrayQueue<T>& ArrayQueue<T>::Delete(T& x)
{
    if (IsEmpty())
    {
        throw OutofBounds();
    }

    front = (front + 1) % MaxSize;
    x = queue[front];
    return *this;
}

template<class T>
int ArrayQueue<T>::Quantity()const
{
    if (IsEmpty())
    {
        return 0;
    }
    else if (IsFull())
    {
        return MaxSize-1;
    }
    
    if ((front+1)%MaxSize<rear)
    {
        return rear - (front+1)%MaxSize+1;
    }
    else
    {
        return MaxSize-(front - rear);
    }
     
}

#endif

exceptionerror.h定义：

#ifndef OUTOFBOUND_H
#define OUTOFBOUND_H
#include <iostream>
class OutofBounds
{
public:
    OutofBounds()
    {
        std::cerr << "Out of Bounds" << std::endl;
        //std::exit(1);
    }
};

class NoMem
{
public:
    NoMem(){
        std::cerr << "No Memory" << std::endl;
        //std::exit(1);
    }

};
#endif

测试：

#include "ArrayQueue.h"

int main()
{
    ArrayQueue<int> Q;
    Q.Add(1);
    Q.Add(2);
    Q.Add(1);
    Q.Add(2);
    Q.Add(1);
    Q.Add(2);
    Q.Add(1);
    Q.Add(2);
    std::cout << Q;
    std::cout << Q.Quantity() << std::endl;
    int x;
    Q.Delete(x);
    std::cout << Q;
    std::cout << Q.Quantity() << std::endl;
    system("pause");
    return 0;
}

输出：