04-05 提升树

目录

• 提升树
• 一、提升树学习目标
• 二、提升树引入
• 三、提升树详解
  • 3.1 加法模型
  • 3.2 前向分步算法
  • 3.3 提升树与AdaBoost算法
  • 3.4 回归提升树
    • 3.4.1 前向分步算法
    • 3.4.2 平方误差损失函数
• 四、回归提升树流程
  • 4.1 输入
  • 4.2 输出
• 五、流程
• 六、提升树优缺点
  • 6.1 优点
  • 6.2 缺点
• 七、小结

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提升树

提升树(boosting tree)是以分类树或回归树作为弱学习器的强学习器。

提升树模型用的是加法模型，算法用的是前向分步算法，弱学习器是决策树的集成学习方法。

一、提升树学习目标

1. 加法模型
2. 前向分步算法
3. 提升树与AdaBoost算法
4. 回归提升树流程
5. 提升树优缺点

二、提升树引入

假设Nick的年龄是25岁。

1. 第1棵决策树

把Nick的年龄设置成初始值0岁去学习，如果第1棵决策树预测Nick的年龄是12岁，即残差值为(25-12=13)
2. 第2课决策树
1. 把Nick的年龄设置成残差值13岁去学习，如果第2棵决策树能把Nick分到13岁的叶子节点，累加两棵决策树的预测值加和(12+13=25)，就是Nick的真实年龄25岁
2. 如果第2棵决策树的得到的是10岁，残差值为(25-12-10=3)
3. 第3课决策树

把Nick的年龄设置成残差值3岁去学习……
4. 继续重复上述过程学习，不断逼近Nick的真实年龄

三、提升树详解

3.1 加法模型

提升树模型可以表示为决策树的加法模型

[f_M(x)=sum_{i=1}^MT(x; heta_m) ]

其中(T(x; heta_m))表示决策树；( heta_m)表示决策树的参数；(M)为树的个数。

3.2 前向分步算法

提升树模型使用的是前向分布算法，即假设初始提升树(f_0(x)=0)，第(m)步的模型是

[f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x; heta_m) ]

其中(f_{m-1}(x))为当前模型，通过经验风险极小化确定一下课决策树的参数( heta_m)

[hat{ heta_m}=underbrace{arg\,min}_{ heta_m}sum_{i=1}^mL(y_i,f_{m-1}(x_i)+T(x_i; heta_m)) ]

3.3 提升树与AdaBoost算法

AdaBoost算法使用的是前向分步算法，利用前一轮弱学习器的误差率更新训练数据的权重；提升树使用的也是前向分步算法，但是提升树如其名，他的弱学习器只能使用决策树，一般使用CART树，然后他的迭代思路也与AdaBoost算法不同

假设提升树在(t-1)轮的强学习器为(f_{t-1}(x))，目标函数是

[L(y,f_{m-1}(x)) ]

在第(t)轮的目标则是找到一个弱学习器(决策树)(h_t(x))，最小化第(t)轮的目标函数

[L(y,f_m(x))=L(y_i,f_{m-1}(x)+T(x; heta_m)) ]

但是当AdaBoost算法中的弱学习器为二类分类树的时候，其实AdaBoost就是提升树，即可以说分类提升树算法是AdaBoost算法的一种特殊情况。

3.4 回归提升树

有(m)个数据(n)个特征的训练数据集(T={(x_,y_1),(x_2,y_2),cdots,(x_m,y_m)})，如果将输入空间划分为(k)互不相交的区域(R_1,R_2,cdots,R_j)，并且在每个区域上确定输出的常量(c_j)，决策树可以表示为

[T(x; heta)=sum_{j=1}^Jc_jI(xin{R_j}) ]

其中，( heta={(R_1,c_1),(R_2,c_2),cdots,(R_J,c_J)}表示树的区域划分和各区域上的常数，)J$是回归树的叶节点个数。

3.4.1 前向分步算法

[egin{align} & f_0(x)=0 \ & f_1(x)=f_0(x)+T(x; heta_1) \ & cdots \ & f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x, heta_m),m=1,2,cdots,M \ & f_M(x)=sum_{m=1}^MT(x; heta_m) end{align} ]

在第(m)步(f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x, heta_m))的时候，给定了(f_{m-1}(x))，需要求解第(m)棵的参数(hat{ heta_m})

[hat{ heta_m} = underbrace{arg\,min}_{ heta_m}sum_{i=1}^mL(y_i,f_{m-1}(x_i)+T(x_i; heta_m)) ]

3.4.2 平方误差损失函数

对于第(m)棵树的参数(hat{ heta_m})，可以采用平方误差损失函数(L(y,f(x))=(y-f(x))^2)求解，树的损失变为

[egin{align} L(y,f_{m-1}(x)+T(x; heta_m)) & = [y-f_{m-1}(x)-T(x; heta_m)]^2 \ & = [r-T(x; heta_m)]^2 end{align} ]

其中(r=y-f_{m-1}(x))是当前模型拟合数据的残差。

对于回归提升树，只需简单地拟合当前模型的残差。

四、回归提升树流程

4.1 输入

有(m)个数据(n)个特征的训练数据集(T={(x_,y_1),(x_2,y_2),cdots,(x_m,y_m)})。

4.2 输出

回归提升树(f_M(x))。

五、流程

1. 初始化(f_0(x)=0)
2. 对(m=1,2,cdots,M)
   1. 计算残差(r_{mi}=y_i-f_{m-1}(x_i),quad{i=1,2,cdots,m})
   2. 拟合残差(r_{mi})学习一个回归树，得到(T(x; heta_m))
   3. 更新(f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x; heta_m))
3. 得到回归提升树

[f_M(x)=sum_{i=1}^MT(x; heta_m) ]

六、提升树优缺点

6.1 优点

1. 既可以解决分类问题，又可以解决回归问题

6.2 缺点

1. 弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练
2. 提升树只是简单的拟合模型的残差，并不准确

七、小结

提升树属于Boosting系列算法，他和AdaBoost有相似之处的，并且当AdaBoost算法中的弱学习器为二类分类树的时候，梯度提升树就是一种特殊的AdaBoost算法。

由于提升树是由简单的残差计算得到的，所以在某种程度上来说，提升树是有一定缺陷的，为了解决这个问题，一般会采用梯度提升树来弥补。