AGC036C GP 2

由于近期集训做的一直都是校内题 然后好久都怎么写题了（

发篇博客证明我还活着 （其实也没人关心

好像并不是很难的一道计数 就是脑子总是缺一块导致会做不出来（

首先我们可以分析性质

1.$sum A_i = 3m$ 显然

2.$sum A_i &1 <= m$ 考虑我们的1 对于一个位置上有2个1我们可以将其合并看成2 所以显然不会有超过m个奇数

3.$max(A_i)<=2m$ 因为一次操作最多能使一个数+2 依旧显然

得到了3个显然的结论 我们依旧不会做这个题

我们先考虑前两种限制 这个比较好解决 我们可以枚举奇数的个数 另$F(n,m,k)$表示一共n个数和为m有不超过k个奇数

根据插板法 我们可以得到柿子 $F(n,m,k)=sum_{i=0}^{max(n,k)}C(n,i)*C((m-i)/2+n-1,n-1)$ 应该比较好理解

我们继续考虑最后一个限制 可以想到>2m的数不会超过1个 我们可以钦定$a_1>2m$最后乘上n即可 然后让$a_1 = a_1 - 2m$

然后我们的限制就变成了 前两个限制+$a_1>0$ 接着继续处理$a_1>0$

我们发现我们可以直接让$n=n-1$钦定$a_1=0$ 然后就是只考虑前两种限制了 相减就好了

最后的答案就是 $F(n,3m,m)-n(F(n,m,m)-F(n-1,m,m))$

然后这里的复杂度上界其实是预处理$O(n+m)$

计数什么的还是好神仙啊。

//Love and Freedom.
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define inf 20021225
#define mdn 998244353
#define N 3000001
using namespace std;
int read()
{
    int s=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9')    {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9')    s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*s;
}
int fac[N],inv[N];
void upd(int &x,int y){x+=x+y>=mdn?y-mdn:y;}
int ksm(int bs,int mi)
{
    int ans=1;
    while(mi)
    {
        if(mi&1)    ans=1ll*ans*bs%mdn;
        bs=1ll*bs*bs%mdn; mi>>=1;
    }
    return ans;
}
void init(int n)
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)    fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mdn;
    inv[n]=ksm(fac[n],mdn-2);
    for(int i=n;i;i--)        inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mdn;
}
int C(int n,int m)
{
    if(n<m)    return 0;
    return 1ll*fac[n]*inv[n-m]%mdn*inv[m]%mdn;
}
int F(int n,int m,int k)
{
    int top=min(n,k),ans=0;
    for(int i=0;i<=top;i++)    if(!((m-i)&1) && m>=i)
        upd(ans,1ll*C(n,i)*C(n-1+(m-i)/2,n-1)%mdn);
    return ans;
}
int main()
{
    int n=read(),m=read(); init(n+3*m);
    int ans=F(n,m*3,m)-1ll*(F(n,m,m)-F(n-1,m,m)+mdn)%mdn*n%mdn;
    printf("%d
",(ans+mdn)%mdn);
    return 0;
}