堆排序

什么是堆

堆是一种特殊的数据结构，其本质是一棵用数组存储的一棵完全二叉树。

堆的性质

1. 一个结点，对应数组元素Heap[i],其父结点为Heap[i/2]，左子结点Heap[2*i],右子结点Heap[2*i+1]。
2. 一个堆中，任何一个结点必须大于或小于其子结点。大于的称大根堆，小于的称小根堆。

堆的操作

下列操作均以小根堆为例

插入

将新结点放于队尾，为了使堆的性质2成立，直接模拟即可，时间复杂度O(logn):
1. 如果当前结点大于等于父结点，或者当前节点已经是根结点，结束。
2. 否则将其与父节点交换，转1。

程序实现

void Put(int x)
{
    int Son;
     Heap[++Len]=x;//放于堆底
    Son=Len;
    while(Len!=1&Heap[Son/2]>Heap[Son])
    {//如果还不是根结点并且堆的性质仍然不满足
        Swap(Heap[Son],Heap[Son/2]);//交换
        Son/=2;//转移当前结点
    }
}

删除

将堆底的结点来替换根结点，然后向下调整，时间复杂度O(logn):
1. 将堆底的结点替换根结点，标记为当前结点
2. 若当前结点比两个子结点都小，则对的性质满足，退出。若其已经是叶子结点，退出。
3. 否则去两个子结点中最小的与交换，转2。为什么要取最小的与之交换呢？因为如果取的事大的，则作为另一个子结点的父结点时，一定会大于它，不满足对的性质。

程序实现

int Get()
{
    int re=Heap[1],Son,Fa;//存下根结点的值，以便返回
    Heap[1]=Heap[Len];//将尾结根结点点替换
    Len--;//删除了，肯定堆长要少一个嘛
    Fa=1;//当前父结点，
    while(Fa*2<=Len)//保证它有子结点
    {
        if(Fa*2+1>Len||Heap[Fa*2]<Heap[Fa*2+1])//选左子结点的条件是比右子结点小，或者当前父节点没有右子结点
            Son=Fa*2;
        else Son=Fa*2+1;//若右子结点比左子结点小，选它
        if(Heap[Fa]>Heap[Son])//如果最小的都没当前父节点小，那就已经是一个堆了
        {
            Swap(Heap[Fa],Heap[Son]);//交换
            Fa=Son;//转移
        }
        else //既然已经是一个堆了，直接退出
            break;
    }
    return re;//返回原根结点的值
}

建堆

第一种方法：将每一个元素都插入堆，时间复杂度O(nlogn)

核心代码

for(int i=1;i<=n;++i)
{
    scanf("%d",&a);
    Put(a);
}

第二种方法将所有元素直接排序，则一定满足堆的性质。

核心代码

 sort(a+1,a+n+1); 

堆排序

堆的性质保证，堆的根结点一定是堆中最小的。所以，堆常用作选出最值的优化。
最典型的例子就是堆排序了。
堆排序其实是对选择排序的优化。
选择排序的思想是每一次循环都选出最小的。

选排代码

for(int i=1;i<=n-1;++i)
    for(int j=i+1;j<=n;++j)
        if(a[i]>a[j])
            swap(a[i],a[j]);

而堆排也是一样的。堆排利用堆的性质，每一次都输出根结点并删去，单次时间复杂度O(logn)。那么只需n次即可完成排序，代码如下：

#include<cstdio>

int Heap[1000001],Len;

void Swap(int &x, int &y)
{
    int s=x;
    x=y;
    y=s;
} 

void Put(int x)
{
    int Son;
     Heap[++Len]=x;
    Son=Len;
    while(Len!=1&Heap[Son/2]>Heap[Son])
    {
        Swap(Heap[Son],Heap[Son/2]);
        Son/=2;
    }
}

int Get()
{
    int re=Heap[1],Son,Fa;
    Heap[1]=Heap[Len];
    Len--;
    Fa=1;
    while(Fa*2<=Len)
    {
        if(Fa*2+1>Len||Heap[Fa*2]<Heap[Fa*2+1])
            Son=Fa*2;
        else Son=Fa*2+1;
        if(Heap[Fa]>Heap[Son])
        {
            Swap(Heap[Fa],Heap[Son]);
            Fa=Son;
        }
        else
            break;
    }
    return re;
}

int main()
{
//    freopen("duipai.in","r",stdin);
//    freopen("duipai.out","w",stdout);
    int n,a;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a);
        Put(a);
    }
    for(int i=1;i<=n-1;++i)
        printf("%d ",Get());
    printf("%d",Get());
    putchar('
');
    fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}