浅谈中国剩余定理

数论基础篇吧，与Exgcd有脱不开的关系。

这个算法，就是要让我们求n个线性同余方程的共同解的最小值，即最小整数解。

我们可以设：M为所有模数之积，M_i=M/b[i],t_i为M_i*t_i在模a_i（模数）意义下同余1的方程的一组解，且模数均互质。

我们则有：方程组的特解为M₁*t₁*b₁+...+M_n*t_n*b_n.

证明：因为M_i是除了a_i之外所有模数的倍数，所以对于任意k≠i，都有b_i*M_i*t_i≡0（mod a_k）

又因为b_i*M_i*t_i≡b_i(mod a_i),所以x=∑b_i*M_i*t_i带入原方程组成立。

对于T我们直接用Exgcd求解即可。其通解可以表示为x+kM，我们求最小非负整数解时，将x对M取模，并让它落在0~M-1的区间中即可。

代码实现：

inline void Exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y){
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else{
        Exgcd(b,a%b,d,x,y);
        LL t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
    }
}
inline LL IntChina(){
    LL Ans=0,Mi,x,y,d;
    for(LL i=1;i<=n;++i){
        Mi=M/a[i];
        Exgcd(Mi,a[i],d,x,y);
        Ans=((Ans+Mi*x*b[i])%M+M)%M;
    }return (Ans+M)%M;
}

例题：曹冲养猪

中国剩余定理模板题，用上面代码足以AC，代码不在给出。

例题：猜数字

这题也算是中国剩余定理的模板题目了，我们列出方程后，只需要进行一下移项，转移成我们熟悉的样子，套用中国剩余定理求解即可。

注意两点：注意将负数转成非负数。

注意要用龟速乘。这里大概讲一下龟速乘：

二进制算法，我们将因数b每次除以2，a每次乘以2，判断b的当前一位是不是1（二进制下），如果是，则说明对最终结果有贡献，便让ans+=a，ans%=mod.注意每次取余。

这里给出龟速乘的代码，本题代码不再给出。（毕竟笔者这个蒟蒻都自己水了90pts，没用龟速乘。）

代码：

#define ll long long
ll Ksc(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans=0;
    for(;b;b>>=1,a=(a+a)%M)if(b&1)ans=(ans+a)%mod;
    return ans;
}