素数幻方

素数幻方

 

Problem Description

素数幻方全是由素数构成的各行、各列与两对角线之和均相等的方阵。
试在指定区间[c,d]找出9个素数，构成一个3阶素数幻方，使得该方阵中3行、3列与两对角线上的3个数之和均相等。
输入区间c,d，输出基于该区间素数构建的所有3阶素数幻方的个数。

Input

每行2个整数，表示c和d。

Output

每行1个整数，表示[c,d]之间所有3阶素数幻方的个数。

Sample Input

1 120

Sample Output

2

解释：

这是一个好玩的题，说实话，很好玩。我 参考 https://blog.csdn.net/u013514928/article/details/44903743?utm_source=blogxgwz5，之后自己优化了一下时间。很感谢这位大佬，我原本的想法是，从4个数中去循环查找的，结果发现，自己的数学模型存在一个巨大问题，无法保证答案的唯一性，对此，我是很懵的，很谢谢这个大佬的这篇博客，受益匪浅。

首先，我大致介绍一下我自己对于大佬的博客的理解。

我们需要3*3阶的素数，也就是需要9 + 1个未知数。按照大佬的数学模型。

n-x    n+w    n-y

n+z     n      n-z

n+y   n-w   n+x

其中3*n = S, x > y > 0;

对于这个模型，我们假设n, x, y 是已知的，那么

w = x + y

z = x - y

所以，在x, y, z, w 中 w是最大的，并且，当x = 2 *y的时候。z == y，所以， x == 2*y 这里要注意一下。不能出现。

在大佬的博客里面，有一个范围的思考计算，这里我们是用不上的，但是，可以考虑去学一下。好吧，很有必要去学一下，学完要记得给大佬点赞。 2 <= y <= n-3     y+2 <= x <= n-3;这个题目已经给定上界，下界了，所以。。。

最核心的是这个数学模型，想到了这个模型，问题就好解决很多了，剩下的就是优化。

1、给定的是[c, d]是两个自然数，其中个数为d - c + 1, 但是这两个中间的素数，绝对小于 d - c + 1. 于是乎，打表，一个保存当前数是不是素数的flag_prime, 另一个记录全是素数的number_prime。

2、我要找到[c, d]中间的素数是那些，我只要知道第一个大于等于C的素数，最后一个小于等于D的素数，可以遍历去找，这里我用的二分，加快时间。得到一个下标区间[tc, td]

3、大佬从s开始找，也就是说，从[3*d, 3*d]开始遍历，我这里从n开始找，并且n是素数的下标，我就可以保存每一次的更新都是素数，而不再是 +1 +1 + 1了，这样时间再快一点点。

4、用两个for循环，这个时候，我不再是用y去遍历，而是，直接遍历素数，找到n+y, 然后通过后n+y-n得到y,再判断n-y是不是素数，这样，就不再是+1 +1 +1这样的遍历了，时间再快一点

具体的看代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 20000;

int flag_prime[3*N];
int sums_prime = 0;
int number_prime[N];

void init(){
    flag_prime[0] = flag_prime[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++){
        if (!flag_prime[i]){
            number_prime[sums_prime++] = i;
            for (int j = 2; j*i < N; j++){
                flag_prime[i*j] = 1;
            }
        }
    }
}

//3 查找最后一个小于key的元素
int findLastLess( int len, int key)
{
    int left = 0;
    int right = len - 1;
    int mid;

    while (left <= right) {
        mid = (left + right) / 2;
        if(key > number_prime[mid]) { //当大于的时候，就可以把左边更新一下
            left = mid + 1;
        }else{
            right = mid - 1;
        } 
    }
    return right;
}

//4 查找第一个大于key的元素
int findFirstGreater(int len, int key)
{
    int left = 0;
    int right = len - 1;
    int mid;

    while (left <= right) {
        mid = (left + right) / 2;
        if (key < number_prime[mid]) { //  当小于的时候，就可以把右边更新一下
            right = mid - 1;
        }
        else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    return left;
}

int func(int n, int c, int d){

   // n = number_prime[n];
    int s = number_prime[n];
    int  sums = 0;

    for (int i = n+1; i <= d-2; i++){
        int y = number_prime[i] - s;
        if (flag_prime[s - y]) continue;

        for (int j = i+1; j <= d-1; j++){
            int x = number_prime[j] - s;
            if(flag_prime[s - x])continue;

            int z = x - y;
            int w = x + y;
            if(x == 2 * y || s - w < number_prime[c] || s + w > number_prime[d]) continue;
           
            if (!(flag_prime[s-z] + flag_prime[s+z] + flag_prime[s + w] + flag_prime[s - w] + flag_prime[s + x] + flag_prime[s - x] + flag_prime[s - y] + flag_prime[s + y]) ){
                // printf("%5d %5d %5d
", s-x, s+w, s-y);
                // printf("%5d %5d %5d
", s+z, s, s-z);
                // printf("%5d %5d %5d
", s+y, s-w, s+x);
                // cout << endl;
                sums++;
            }
        }
    }
    return sums;
} 

int main(){
    init();
    int c, d;
    while (cin >> c >> d){
        int sums = 0;
        int tc = findFirstGreater(sums_prime, c);
        int td = findLastLess(sums_prime, d);
       // printf("%d %d
", tc, td);
        for (int s = tc+3; s <= td-3; s++){
            sums += func(s, tc, td);
        }
        printf("%d
", sums);
    }
    return 0;

}

时间还是很长，但是我想不到，还可以怎么优化了。还是感谢，

 https://blog.csdn.net/u013514928/article/details/44903743?utm_source=blogxgwz5  这个博客，没有这个数学模型，我完全解不出来。