题目概述
题目描述
小凯有一天突发奇想，写下了一串数字：(l(l+1)(l+2)...(r-1)r)
例如：(l=2,r=5)时，数字为：(2345)
(l=8,r=12)时,数字为：(89101112)
小凯很喜欢数字9，所以他想问你他写下的数字除以9的余数是多少
例如：(l=2,r=5)时，2345 mod 9 = 5
输入输出格式
输入格式
第一行为数字Q,表示小凯有Q个问题 第2-Q+1行，每行两个数字 l,r 表示数字范围
输出格式
对于每行的问题输出一行，一个数字，表示小凯问题的回答
输入输出样例
输入样例 #1
2
2 5
8 12
输出样例 #1
5
5
输入样例 #2
3
1 999
123 456
13579 24680
输出样例 #2
0
6
0
样例解释
样例1解释：(2345 quad mod quad 9 = 5 quad \\ 89101112 quad mod quad 9 = 5)
数据范围
30% 数据满足：(Q le 10;l,r le 100)
50% 数据满足：(Q le 100;l,r le {10}^4)
70% 数据满足：(Q le 1000;l,r le {10}^6)
100%数据满足：(Q le 10^4;0<l,r le 10^{12}) 且 (l le r)
解题报告
题意理解
自己看题吧,我懒了
算法解析
首先你得有小学数论知识.
[a equiv 0 mod 9 Rightarrow a的数字和是9的倍数
]
也就是说,(a)是(9)的倍数,就必须数字和是(9)的倍数.
然后,我们来康康,一些连续的数字的规律.
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22
]
他们数字和模(9)是多少呢?
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,0,1,2,3,4,5,6,7,8,0,1,2,3,4
]
假如我问你,([1,13]),他们构成的数字,模(9)是多少
[12345678910111213
]
然后等量代换
[1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13
]
或者说
[1+2+3+4+5+6+7+8+0+1+2+3+4
]
其实还可以是
[1+2+3+4
]
最后就是
[10 equiv 1 mod 9
]
因此我们可以得出.
我们容易发现，对于任意的九个连续自然数，记为
[a_1,a_2,a_3 dots a_9
]
这九个数字的每一位数字之和必被九整除。
证明一下.
[a_1 数字和为x \\x+(x+1)+dots (x+9) equiv 9 imes x+(1+2+3+dots9) equiv 45 mod 9 equiv 0 mod 9
]
然后这道题,就可以愉快的结束了.
[len=r-l+1 quad len为区间[l,r]长度 \\len=9 imes a+b \\因此我们只需要求出b长度个数的模9余数即可
]
代码解析
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long ans,T,l,r,w,x,len;
inline void work()
{
ans=0;
len=r-l+1,w=len%9;//剩下的长度
l=r-w+1;//截取剩下
while(l<=r)
{
x=l;
while (x)//数字分解
{
ans+=(x%10);
x/=10;
}
ans%=9;
l++;
}
ans%=9;
cout<<ans<<endl;
}
inline void init()
{
ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>T;
while (T--)
{
cin>>l>>r;
work();
}
}
int main()
{
init();
return 0;
}