可图性判定HavelHakimi定理

两个概念

1、度序列

　　若把图G所有顶点的度数排成一个序列S，则称S为图G的度序列。

2、序列是可图的

　　一个非负整数组成的序列如果是某个无向图的度序列，则称该序列是可图的。

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Havel-Hakimi定理

由非负整数组成的非增序列S：d1, d2 ,..., dn (n≥2,d1≥1)是可图的，当且仅当序列S1：d2-1,d3-1,...,dd1+1-1,dd1+2,...,dn是可图的。其中，序列S1中有n-1个非负整数，S序列中d1后的前d1个度数(即d2~dd1+1)减1后构成S1中的前d1个数。

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应用：POJ 1659 Frogs' Neighborhood

http://poj.org/problem?id=1659

贴上一个博客

http://blog.csdn.net/monkey_little/article/details/6358601

对于该题目中的第一个序列，分析如下：

具体操作时候，每次都把排序好的序列第一个元素处理完以后就置为0，加入到队列的最后。若是最后元素全为0，则该序列是可图的。若在中间出现某个元素减一之后变为负的，则说明此序列是不可图的。

我的AC代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#define MAXN 10
typedef struct Company
{
  int data;
  int no;
}Company;
Company x[MAXN];
int map[MAXN][MAXN];
int Compare(const void *elem1, const void *elem2)
{
  Company *p1 = (Company*)elem1;
  Company *p2 = (Company*)elem2;
//  if (p1->data == p2->data)
//  {
//    return p1->no - p2->no;
//  }
  return p2->data - p1->data;
}
int main()
{
  int T, N;
  scanf("%d", &T);
  while(T--)
  {
    scanf("%d", &N);
    memset(map, 0, sizeof(map));
    int flag = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
      scanf("%d", &x[i].data);
      x[i].no = i;
    }
    qsort(x, N, sizeof(Company), Compare);
    while(!flag && x[0].data)
    {
      int start = x[0].data;
      for (int i = 1; i < start+1; ++i)
      {
        x[i].data--;
        if (x[i].data < 0)
        {
          flag = 1;
          break;
        }
        map[x[0].no][x[i].no] = 1;
        map[x[i].no][x[0].no] = 1;
      }
      x[0].data = 0;
      qsort(x, N, sizeof(Company), Compare);
    }
    if (flag)
    {
      printf("NO\n");
    }else
    {
      printf("YES\n");
      for (int i = 0; i < N; ++i)
      {
        for (int j = 0; j < N; ++j)
        {
          printf(j == 0 ? "%d" : " %d", map[i][j]);
        }
        printf("\n");
      }
    }
    if (T)
    {
      printf("\n");
    }
  }
  return 0;
}

x.no这个属性用来记录每个输入数据的输入时的编号次序，以用来在map[][]数组填充1时用，否则不知道该x[?][?] = 1；

flag是一个标志位，若中间有负数出现，就改变其值

思路源自以下代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
    int num,e;
}x[15];
bool map[15][15];
int cmp(node a,node b)
{
    if(a.num==b.num)
        return a.e<b.e;
    return a.num>b.num;
}
int judge(int n)
{
    int i,num,tmp;
    while(1){
        sort(x+1,x+n+1,cmp);
        if(!x[1].num)
            return 1;//数组全为 0 的情况退出
        for(i=2;i<=x[1].num+1;i++){
            if(x[i].num>0){
                x[i].num--;
                map[x[1].e][x[i].e]=map[x[i].e][x[1].e]=1;
            }
            else
                return 0;
        }
        x[1].num=0;
    }
}
int main()
{
    int n,t,i,j;
    bool flag;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){ 
        scanf("%d",&n);
        for(i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&x[i].num);
            x[i].e=i;
        }
        memset(map,0,sizeof(map));
        flag=judge(n);

        if(flag){
            printf("YES/n");
            for(i=1;i<=n;i++){
                for(j=1;j<=n;j++)
                    printf(j==1?"%d":" %d",map[i][j]);
                printf("/n");
            }
        }
        else
            printf("NO/n");
        if(t)
            printf("/n");
    }
    return 0;
}