作者：Grey
原文地址：使用二分法来解决的问题
在一个有序数组中，找某个数是否存在
OJ见：LeetCode 704. Binary Search
思路：
- 先得到中点位置，中点可以把数组分为左右半边。
- 如果中点位置的值等于目标值，直接返回中点位置。
- 如果中点位置的值小于目标值，则去数组左边按同样的方式寻找。
- 如果中点位置的值大于目标值，则取数组右边按同样的方式寻找。
- 如果最后没有找到，则返回：-1。
代码
class Solution {
public int search(int[] nums, int target) {
if(nums == null || nums.length < 1) {
return -1;
}
int l = 0;
int r = nums.length - 1;
while (l <= r) {
int mid = l + ((r - l)>>1);
if (target > nums[mid]) {
l = mid + 1;
} else if (target == nums[mid]) {
return mid;
} else {
r = mid - 1;
}
}
return -1;
}
}
在一个有序数组中，找大于等于某个数最左侧的位置
OJ见：牛客-查找某个位置
这个问题只需要在上例基础上进行简单改动即可，上例中，我们找到满足条件的位置就直接return了
if (target == nums[mid]) {
return mid;
}
在本问题中，因为要找到最左侧的位置，所以，在遇到相等的时候，只需要先把位置记录下来，不用直接返回，然后继续去左侧找是否还有满足条件的位置。
同时，在遇到target < nums[mid]条件下，也需要记录下此时的mid位置，因为这也可能是满足条件的位置。
代码：
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n = in.nextInt();
int k = in.nextInt();
int[] arr = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
arr[i] = in.nextInt();
}
// 虽然不排序也可以通过，但是题目未说明一定是有序数组
Arrays.sort(arr);
System.out.println(getNearestLeft(arr, k));
in.close();
}
public static int getNearestLeft(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length < 1) {
return -1;
}
int l = 0;
int r = nums.length - 1;
int ans = 0;
while (l <= r) {
int mid = l + ((r - l) >> 1);
if (target < nums[mid]) {
ans = mid;
r = mid - 1;
} else if (target > nums[mid]) {
l = mid + 1;
} else {
ans = mid;
r = mid - 1;
}
}
return ans;
}
}
LeetCode上有很多类似的问题，都可以用如上方式解答，比如：
LeetCode 35. Search Insert Position
代码见：LeetCode_0035_SearchInsertPosition
LeetCode 34. Find First and Last Position of Element in Sorted Array
代码见：LeetCode_0034_FindFirstAndLastPositionOfElementInSortedArray
局部最大值问题
OJ见：LeetCode 162. Find Peak Element
思路
假设数组长度为N，首先判断0号位置的数和N-1位置的数是不是峰值位置。
0号位置只需要和1号位置比较，如果0号位置大，0号位置就是峰值位置。
N-1号位置只需要和N-2号位置比较，如果N-1号位置大，N-1号位置就是峰值位置。
如果0号位置和N-1在上轮比较中均是最小值，那么数组的样子必然是如下情况：
[0..1]区间内是增长, [N-2...N-1]区间内是下降
那么峰值位置必在[1...N-2]之间出现
此时可以通过二分来找峰值位置，先来到中点位置，假设为mid，如果:
arr[mid] > arr[mid+1] && arr[mid] > arr[mid-1]
则mid位置即峰值位置
否则，有如下两种情况：
情况一，趋势是：
则在[1...(mid-1)]区间内继续上述二分。
情况二，趋势是：
则在[(mid+1)...(N-2)]区间内继续上述二分。
完整代码
public class LeetCode_0162_FindPeakElement {
public static int findPeakElement(int[] nums) {
if (nums.length == 1) {
return 0;
}
int l = 0;
int r = nums.length - 1;
if (nums[l] > nums[l + 1]) {
return l;
}
if (nums[r] > nums[r - 1]) {
return r;
}
l = l + 1;
r = r - 1;
while (l <= r) {
int mid = l + ((r - l) >> 1);
if (nums[mid] > nums[mid + 1] && nums[mid] > nums[mid - 1]) {
return mid;
}
if (nums[mid] < nums[mid + 1]) {
l = mid + 1;
} else if (nums[mid] < nums[mid - 1]) {
r = mid - 1;
}
}
return -1;
}
}
分割数组的最大值
给定一个非负整数数组 nums 和一个整数 m ，你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子数组。设计一个算法使得这 m 个子数组各自和的最大值最小。
OJ见：LeetCode 410. Split Array Largest Sum
PS: 此题也可以用四边形不等式优化的动态规划来解，但是最优解是二分法
思路
我们先求整个数组的累加和，假设累加和为sum，我们可以得到一个结论，分割的m个非空连续子数组的和的范围一定在(0,sum]区间内。转换一下思路，如果某种划分下的子数组之和的最大值为max，则max首先肯定在(0,sum]区间内。思路转换为：
子数组的累加和最大值不能超过max的情况下，最少可分多少部分？
假设能分k个部分，
如果k <= m，说明这种划分是满足条件的，我们看max是否可以变的更小。
如果k > m，说明这种划分是不满足条件的，我们需要调大max的值。
这里可以通过二分的方式来定位max的值。即max先取(0,sum]的中点位置，得到的划分部分k如果k <= m，则max继续去左边取中点位置来得到新的划分k，
如果k > m，max继续从右边的中点位置来得到新的划分k。
完整代码
class Solution {
public static int splitArray(int[] nums, int m) {
int sum = 0;
for (int num : nums) {
sum += num;
}
int l = 0;
int r = sum;
int ans = 0;
while (l <= r) {
int mid = l + ((r - l) >> 1);
int parts = getParts(nums, mid);
if (parts > m) {
// mid越大，parts才会越小
l = mid + 1;
} else {
ans = mid;
r = mid - 1;
}
}
return ans;
}
// 达到aim要分几部分
public static int getParts(int[] nums, int aim) {
for (int num : nums) {
if (num > aim) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
}
int part = 1;
int all = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
if (all + nums[i] > aim) {
part++;
all = nums[i];
} else {
all += nums[i];
}
}
return part;
}
}
其中：int getParts(int[] nums, int aim)方法表示，在不超过aim的情况下，最少需要几个划分部分。方法的主要逻辑是：
遍历数组，如果发现某个元素的值超过了aim，直接返回系统最大，说明无法得到划分。如果没有超过aim，则继续加入下一个元素，直到超过aim，就定位出一个部分。依次类推，就可以得到最少有几个划分。
判断一个数是否是Step Sum
何为step sum? 比如680，680 + 68 + 6 = 754，所以680的Step Sum是754，给定一个正数num，判断它是不是某个数的Step Sum。
使用二分法来解决这个问题，思路如下：
如果一个数x的Step Sum为m，另外一个数y的Step Sum为n，如果x大于y，则m一定大于n。
给定一个数num，我们可以求0到num的中点位置mid，看这个位置的Step Sum是不是给定的num，如果是，直接返回true，如果中点位置的Step Sum大于num，则考虑在左半边继续二分，如果中点位置的Step Sum小于num，则考虑在右半边继续二分。
public class Code_0111_IsStepSum {
public static boolean isStepSum(int stepSum) {
int i = 0;
int j = stepSum;
while (i <= j) {
int mid = i + ((j - i) >> 1);
int value = stepSumOf(mid);
if (value == stepSum) {
return true;
} else if (value < stepSum) {
i = mid + 1;
} else {
// value > stepSum
j = mid - 1;
}
}
return false;
}
public static int stepSumOf(int num) {
int v = 0;
while (num != 0) {
v += num;
num = num / 10;
}
return v;
}
}