斐波那契数列介绍
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
相关题目参考：LeetCode_0509_FibonacciNumber
思路
暴力解法：递归版本
public static int fib(int N) {
if (N <= 0) {
return 0;
}
if (N == 1 || N == 2) {
return 1;
}
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
暴力解法：迭代版本
public static int fib2(int N) {
if (N <= 0) {
return 0;
}
if (N == 1 || N == 2) {
return 1;
}
int first = 1;
int second = 1;
int result = 0;
for (int i = 3; i <= N; i++) {
result = first + second;
first = second;
second = result;
}
return result;
}
最优解
如果某个递归，除了初始项之外，具有如下的形式
F(N) = C1 * F(N) + C2 * F(N-1) + ... + Ck * F(N-k) ( C1...Ck 和k都是常数)
并且这个递归的表达式是严格的、不随条件转移的, 那么都存在类似斐波那契数列的优化，时间复杂度都能优化成O(logN),
斐波那契数列的通项公式
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2)
斐波那契数列的任意项（以F2，F3，F4为例），都有如下公式：
|F2,F3| * |a,b| = |F3,F4|
|c,d|
其中，矩阵中a = 0, b = 1, c = 1, d = 1
所以针对斐波那契第N项，有
|F(N),F(N-1)| = |F2,F1| * |0,1| ^ (N - 2)
|1,1|
所以优化的关键在于，求一个矩阵的(N - 2)次方如何更快，我们可以参考求一个整数的N次方如何最快，可以通过快速幂方式来计算。
比如：
求6的5次方
可以这样来求，
先把5转换成二进制0101, 准备一个变量t，初始等于6， 准备一个变量ans, 初始等于1，
从右到左遍历5的二进制位,
如果遇到1则：ans *= t 且 t *= t,
如果遇到0则不需要处理ans，只需要t *= t,
直到遍历完成5的二进制位，ans即为答案，整个复杂度为 O(logN),
详细可以参考： x的n次幂, 代码为：
public class LintCode_0428_PowXN {
// 类fabanacci问题
// pow X N ( N 转成2进制）
// 复杂度 log（N）
public static double myPow(double x, int n) {
int pow = Math.abs(n == Integer.MIN_VALUE ? n + 1 : n);
double ans = 1D;
double t = x;
while (pow != 0) {
if ((pow & 1) != 0) {
ans *= t;
}
pow >>= 1;
t *= t;
}
if (n == Integer.MIN_VALUE) {
ans *= x;
}
if (n < 0) {
ans = 1D / ans;
}
return ans;
}
}
回到斐波那契数列问题，一个矩阵的N次方，也可以优化成O(logN)的解法, 在斐波那契问题中， ans变量初始为单位矩阵，即：
|1,0|
|0,1|
t 在斐波那契问题下初始为
|0,1|
|1,1|
逻辑和求N的X次幂一样，只不过N的X次幂中 t 和 ans 变量都是数字相乘，而斐波那契问题是矩阵相乘，矩阵相乘的规则请参考线性代数的知识, 完整代码如下
// 最优解 O(log^N)
public static int fib3(int N) {
if (N <= 0) {
return 0;
}
if (N == 1 || N == 2) {
return 1;
}
int[][] matrix = matrixPow(new int[][]{{0, 1}, {1, 1}}, N - 2);
return matrix[0][1] + matrix[1][1];
}
public static int[][] matrixPow(int[][] matrix, int n) {
int[][] ans = new int[][]{{1, 0}, {0, 1}};
int[][] t = matrix;
while (n != 0) {
if ((n & 1) != 0) {
ans = matrix(t, ans);
}
n >>= 1;
t = matrix(t, t);
}
return ans;
}
public static int[][] matrix(int[][] A, int[][] B) {
int[][] result = new int[2][2];
result[0][0] = A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B[1][0];
result[0][1] = A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B[1][1];
result[1][0] = A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B[1][0];
result[1][1] = A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B[1][1];
return result;
}
类斐波那契问题都可以用如上的优化方法来计算，
例如，某个问题的第N项的通项公式是：
F(N) = 6 * F(N-1) + 3 * F(N-5)
那么，要求其第N项的值，可以转换成如下矩阵公式，
|Fn,Fn-1,Fn-2,Fn-3,Fn-4| = |F5,F4,F3,F2,F1|x|5x5|^(N-5)
列出其中前几个项并带入求出|5x5| 这个5 乘以 5的矩阵中每个位置的数字，然后参考快速幂的算法，即可解答。
类斐波那契数列问题
什么时候不能用斐波那契问题的相关公式来解
注意：如果存在条件转移，那就用不了类斐波那契问题的相关公式 例如：Code_0056_ConvertToLetterString.java