• 24点算法之我见


    之前发了一篇博文“24点的所有组合的解法”,有人颇不以为然。我想说的是,发这篇文章是说明我可以用计算机求出24点的所有组合的解法。而在实际的运用中,如果要使用24点的算法有时还不见得利用查表法来得简单和快速。毕竟,要短时间内写出正确的算法并验证,也不是一件很容易的事。

    24点游戏的规则:给定4个正整数(1到10),利用加减乘除运算,得出运算结果为24的运算式

    例如:

    1,2,3,4——(1+2+3)*4=24

    1,5,5,5——(5-1/5)*5=24

    网上比较常见的24点算法是动态规划算法(这个在博客园中也能搜索到)。

    定义6个二元运算符:加、减、乘、除、反减、反除

    然后从4个数中任选2个数,通过一种运算(6个运算中的1个)得到一个新数

    问题就演化成3个数的24点

    重复上面的步骤,直到剩下一个数,如果这个数是24,则之前的运算过程就是24点的解答之一。如果这个数不是24,说明之前的运算不正确,再重新计算。如果所有的数的组合和运算的组合都尝试后,仍然没有找到解答,说明这4个数没有解

    算一算运算一组解需要多少种可能性

    第一步,从4个数中,任选两个数,6个运算符,则一共有C(4,2)*6=6*6=36

    第二步,从3个数中,任选两个数,6个运算符,则一共有C(3,2)*6=3*6=18,则前两步一共有36*18=648种

    第三步,6个运算符,则一共有6,最终求一组解的要搜索的可能性有648*6=3888种

    上面是求一组解,要搜索的可能性,一共3888种

    如果要得出所有组合的解,先要算出一共有多少种组合

    4个数都不相同,C(10,4)=210

    只有2个数相同,C(10,3)*3=360

    2组2个数相同,C(10,2)=45

    只有3个数相同,C(10,2)*2=90

    4个数都相同,C(10,1)=10

    则一共有210+360+45+90+10=715组

    则求出所有组合的解,则一共要搜索715*3888=2779920种可能性

    说白了,24点的算法就是一种穷举法

    换一种思路,介绍我的24点的穷举法

    上面的算法是对数和运算符进行穷举和搜索

    我的算法是对运算式进行穷举

    无论给什么样的是4个数,运算式总是不变的,举例来说:

    N+N+N+N=24,这是一种运算式

    N*N+N*N=24,这是另一种运算式

    N/(N-N/N)=24,这又是另一种运算式

    下面这个例子:

    N+N-(N-N)=24

    N+N-N+N=24

    上面虽然是两种不同的运算式,但本质是同一种运算式(肯定同时成立或同时不成立),穷举的时候只要穷举其中一个就行了

    再看下面这个例子

    N/(N+N+N)=24

    虽然是一个运算式,但是这个运算式是不可能成立的,也就是无解运算式,穷举的时候是不需要穷举该运算式的

    下面这个表格是我整理的所有的运算式,其中有的运算式有等价运算式,有的运算式是无解运算式,按照上面的讲法,这两类运算式在穷举的时候都不需要穷举

    24点运算式表
    运算式 等价运算式 是否有解
    +++    
    N+N+N+N=24    
         
    ++-    
    N+N+N-N=24    
         
    ++*    
    N+N+N*N=24    
    N+(N+N)*N=24    
    (N+N+N)*N=24    
         
    ++/    
    N+N+N/N=24    
    N+(N+N)/N=24    
    (N+N+N)/N=24    
         
    +-+    
    N+N-N+N=24 N+N+N-N=24  
    N+N-(N+N)=24 N+N-N-N=24 无解
         
    +--    
    N+N-N-N=24   无解
    N+N-(N-N)=24 N+N-N+N=24
    N+N+N-N=24
     
         
    +-*    
    N+N-N*N=24   无解
    N+(N-N)*N=24    
    (N+N-N)*N=24    
         
    +-/    
    N+N-N/N=24   无解
    N+(N-N)/N=24   无解
    (N+N-N)/N=24   无解
         
    +*+    
    N+N*N+N=24    
    (N+N)*N+N=24    
    N+N*(N+N)=24 (N+N)*N+N=24  
    (N+N)*(N+N)=24    
         
    +*-    
    N+N*N-N=24    
    (N+N)*N-N=24    
    N+N*(N-N)=24 N+(N-N)*N  
    (N+N)*(N-N)=24    
         
    +**    
    N+N*N*N=24    
    (N+N)*N*N=24    
    (N+N*N)*N=24    
         
    +*/    
    N+N*N/N=24    
    (N+N)*N/N=24    
    (N+N*N)/N=24    
         
    +/+    
    N+N/N+N=24    
    (N+N)/N+N=24    
    N+N/(N+N)=24   无解
    (N+N)/(N+N)=24   无解
         
    +/-    
    N+N/N-N=24   无解
    (N+N)/N-N=24   无解
    N+N/(N-N)=24   无解
    (N+N)/(N-N)=24   无解
         
    +/*    
    N+N/N*N=24 N+N*N/N=24  
    (N+N)/N*N=24 (N+N)*N/N=24  
    (N+N/N)*N=24    
    N+N/(N*N)=24 N+N/N/N=24 无解
    (N+N)/(N*N)=24 (N+N)/N/N=24 无解
         
    +//    
    N+N/N/N=24   无解
    (N+N)/N/N=24   无解
    (N+N/N)/N=24   无解
    N+N/(N/N)=24 N+N/N*N=24
    N+N*N/N=24
     
    (N+N)/(N/N)=24 (N+N)/N*N=24
    (N+N)*N/N=24
     
         
    -++    
    N-N+N+N=24 N+N+N-N=24  
    N-(N+N)+N=24 N-N-N+N=24
    N+N-N-N=24
    无解
    N-(N+N+N)=24 N-N-N-N=24 无解
         
    -+-    
    N-N+N-N=24 N+N-N-N=24 无解
    N-(N+N)-N=24 N-N-N-N=24 无解
    N-(N+N-N)=24 N-N-N+N=24
    N+N-N-N=24
    无解
         
    -+*    
    N-N+N*N=24 N+N*N-N=24  
    N-(N+N)*N=24   无解
    N-(N+N*N)=24   无解
    (N-N+N)*N=24 (N+N-N)*N=24  
    (N-(N+N))*N=24 (N-N-N)*N=24  
         
    -+/    
    N-N+N/N=24   无解
    N-(N+N)/N=24   无解
    N-(N+N/N)=24 N-N-N/N=24 无解
    (N-N+N)/N=24 (N+N-N)/N=24 无解
    (N-(N+N))/N=24 (N-N-N)/N=24 无解
         
    --+    
    N-N-N+N=24 N+N-N-N=24 无解
    N-(N-N)+N=24 N-N+N+N=24
    N+N+N-N=24
     
    N-(N-N+N)=24 N-N+N-N=24
    N+N-N-N=24
    无解
    N+N-N-N=24 N-N+N+N=24
    N+N+N-N=24
     
    N-N-(N+N)=24 N-N-N-N=24 无解
         
    ---    
    N-N-N-N=24   无解
    N-N-(N-N)=24 N-N-N+N =24
    N+N-N-N=24
    无解
    N-(N-N)-N=24 N-N+N-N=24
    N+N-N-N=24
    无解
    N-(N-N-N)=24 N-N+N+N=24
    N+N+N-N=24
     
    N-(N-(N-N))=24 N-N+N-N=24
    N+N-N-N=24
    无解
         
    --*    
    N-N-N*N=24   无解
    N-(N-N)*N=24 N+(N-N)*N=24  
    (N-N-N)*N=24    
    (N-(N-N))*N=24 (N-N+N)*N=24
    (N+N-N)*N=24
     
         
    --/    
    N-N-N/N=24   无解
    N-(N-N)/N=24 N+(N-N)/N=24 无解
    (N-N-N)/N=24   无解
    (N-(N-N))/N=24 (N-N+N)/N=24
    (N+N-N)/N=24
    无解
         
    -*+    
    N-N*N+N=24 N+N-N*N=24 无解
    (N-N)*N+N=24 N+(N-N)*N=24  
    N-N*(N+N)=24 N-(N+N)*N=24 无解
    (N-N)*(N+N)=24 (N+N)*(N-N)=24  
    N-(N*N+N)=24 N-N*N-N=24
    N-N-N*N=24
    无解
         
    -*-    
    N-N*N-N=24 N-N-N*N=24 无解
    (N-N)*N-N=24    
    N-N*(N-N)=24 N+N*(N-N)=24
    N+(N-N)*N=24
     
    (N-N)*(N-N)=24    
    N-(N*N-N)=24 N-N*N+N=24
    N+N-N*N=24
    无解
         
    -**    
    N-N*N*N=24   无解
    (N-N)*N*N=24    
    (N-N*N)*N=24    
         
    -*/    
    N-N*N/N=24   无解
    (N-N)*N/N=24    
    (N-N*N)/N=24   无解
         
    -/+    
    N-N/N+N=24 N+N-N/N=24 无解
    (N-N)/N+N=24 N+(N-N)/N=24 无解
    N-N/(N+N)=24   无解
    (N-N)/(N+N)=24   无解
    N-(N/N+N)=24 N-N/N-N=24
    N-N-N/N=24
    无解
         
    -/-    
    N-N/N-N=24 N-N-N/N=24 无解
    (N-N)/N-N=24   无解
    N-N/(N-N)=24 N+N/(N-N)=24 无解
    (N-N)/(N-N)=24   无解
    N-(N/N-N)=24 N-N/N+N=24
    N+N-N/N=24
    无解
         
    -/*    
    N-N/N*N=24   无解
    (N-N)/N*N=24 (N-N)*N/N  
    (N-N/N)*N=24    
    N-N/(N*N)=24 N-N/N/N=24 无解
    (N-N)/(N*N)=24 (N-N)/N/N=24 无解
         
    -//    
    N-N/N/N=24   无解
    (N-N)/N/N=24   无解
    (N-N/N)/N=24   无解
    N-N/(N/N)=24 N-N/N*N=24
    N-N*N/N=24
    无解
    (N-N)/(N/N)=24 (N-N)/N*N=24
    (N-N)*N/N=24
     
         
    *++    
    N*N+N+N=24 N+N+N*N=24  
    N*(N+N)+N=24 N+(N+N)*N=24  
    N*(N+N+N)=24 (N+N+N)*N=24  
         
    *+-    
    N*N+N-N=24 N-N+N*N=24  
    N*(N+N)-N=24 (N+N)*N-N=24  
    N*(N+N-N)=24 (N+N-N)*N=24  
         
    *+*    
    N*N+N*N=24    
    N*(N+N)*N=24 (N+N)*N*N=24  
    (N*N+N)*N=24 (N+N*N)*N=24  
    N*(N+N*N)=24 (N+N*N)*N=24  
         
    *+/    
    N*N+N/N=24    
    N*(N+N)/N=24 (N+N)*N/N=24  
    (N*N+N)/N=24 (N+N*N)/N=24  
    N*(N+N/N)=24 (N+N/N)*N=24  
         
    *-+    
    N*N-N+N=24 N-N+N*N=24  
    N*(N-N)+N=24 N+(N-N)*N=24  
    N*(N-N+N)=24 (N+N-N)*N=24  
    N*N-(N+N)=24 N*N-N-N=24  
    N*(N-(N+N))=24 N*(N-N-N)=24
    (N-N-N)*N=24
     
         
    *--    
    N*N-N-N=24    
    N*(N-N)-N=24 (N-N)*N-N=24  
    N*(N-N-N)=24 (N-N-N)*N=24  
    N*N-(N-N)=24 N*N-N+N=24
    N-N+N*N=24
     
    N*(N-(N-N))=24 N*(N-N+N)=24
    (N+N-N)*N=24
     
         
    *-*    
    N*N-N*N=24    
    N*(N-N)*N=24 (N-N)*N*N=24  
    (N*N-N)*N=24    
    N*(N-N*N)=24 (N-N*N)*N=24  
         
    *-/    
    N*N-N/N=24    
    N*(N-N)/N=24 (N-M2)*N/N=24  
    (N*N-N)/N=24    
    N*(N-N/N)=24 (N-N/N)*N=24  
         
    **+    
    N*N*N+N=24 N+N*N*N=24  
    N*N*(N+N)=24 (N+N)*N*N=24  
    N*(N*N+N)=24 (N+N*N)*N=24  
         
    **-    
    N*N*N-N=24    
    N*N*(N-N)=24 (N-N)*N*N=24  
    N*(N*N-N)=24 (N*N-N)*N=24  
         
    ***    
    N*N*N*N=24    
         
    **/    
    N*N*N/N=24    
         
    */+    
    N*N/N+N=24 N+N*N/N=24  
    N*N/(N+N)=24    
    N*(N/N+N)=24 (N+N/N)*N=24  
         
    */-    
    N*N/N-N=24    
    N*N/(N-N)=24    
    N*(N/N-N)=24    
         
    */*    
    N*N/N*N=24 N*N*N/N=24  
    N*N/(N*N)=24 N*N/N/N=24  
         
    *//    
    N*N/N/N=24    
    N*N/(N/N)=24 N*N/N*N=24
    N*N*N/N=24
     
         
    /++    
    N/N+N+N=24 N+N+N/N=24  
    N/(N+N)+N=24 N+N/(N+N)=24 无解
    N/(N+N+N)=24   无解
         
    /+-    
    N/N+N-N=24 N-N+N/N=24 无解
    N/(N+N)-N=24   无解
    N/(N+N-N)=24   无解
         
    /+*    
    N/N+N*N=24 N*N+N/N=24  
    N/(N+N)*N=24 N*N/(N+N)=24  
    (N/N+N)*N=24 (N+N/N)*N=24  
    N/(N+N*N)=24   无解
         
    /+/    
    N/N+N/N=24   无解
    N/(N+N)/N=24   无解
    (N/N+N)/N=24 (N+N/N)/N=24 无解
    N/(N+N/N)=24   无解
    N/((N+N)/N)=24 N/(N+N)*N=24
    N*N/(N+N)=24
     
         
    /-+    
    N/N-N+N=24 N-N+N/N=24 无解
    N/N-(N+N)=24 N/N-N-N=24 无解
    N/(N-N)+N=24 N+N/(N-N)=24 无解
    N/(N-N+N)=24 N/(N+N-N)=24 无解
    N/(N-(N+N))=24 N/(N-N-N)=24 无解
         
    /--    
    N/N-N-N=24   无解
    N/N-(N-N)=24 N/N-N+N=24
    N+N/N-N=24
    无解
    N/(N-N)-N=24   无解
    N/(N-N-N)=24   无解
    N/(N-(N-N))=24 N/(N-N+N)=24
    N/(N+N-N)=24
    无解
         
    /-*    
    N/N-N*N=24   无解
    N/(N-N)*N=24 N*N/(N-N)=24  
    N/(N-N*N)=24   无解
    (N/N-N)*N=24    
         
    /-/    
    N/N-N/N=24   无解
    N/(N-N)/N=24   无解
    (N/N-N)/N=24   无解
    N/(N-N/N)=24    
    N/((N-N)/N)=24 N/(N-N)*N=24
    N*N/(N-N)=24
     
         
    /*+    
    N/N*N+N=24 N+N*N/N=24  
    N/N*(N+N)=24 (N+N)*N/N=24  
    N/(N*N+N)=24 N/(N+N*N)=24 无解
    N/(N*(N+N))=24 N/N/(N+N)=24
    N/(N+N)/N=24
    无解
         
    /*-    
    N/N*N-N=24 N*N/N-N=24  
    N/N*(N-N)=24 N*(N-N)/N=24  
    N/(N*N-N)=24   无解
    N/(N*(N-N))=24 N/N/(N-N)=24
    N/(N-N)/N=24
    无解
    N/(N*N)-N=24 N/N/N-N=24 无解
         
    /**    
    N/N*N*N=24 N*N*N/N=24  
    N/(N*N)*N=24 N/N/N*N=24
    N*N/N/N=24
     
    N/(N*N*N)=24 N/N/N/N=24 无解
         
    /*/    
    N/N*N/N=24 N*N/N/N=24  
    N/(N*N)/N=24 N/N/N/N=24 无解
    N/(N*N/N)=24 N/N/N*N=24
    N*N/N/N=24
     
         
    //+    
    N/N/N+N=24 N+N/N/N 无解
    N/N/(N+N)=24   无解
    N/(N/N+N)=24 N/(N+N/N)=24 无解
    N/(N/(N+N))=24 N/N*(N+N)=24
    (N+N)*N/N=24
     
         
    //-    
    N/N/N-N=24   无解
    N/N/(N-N)=24   无解
    N/(N/N-N)=24    
    N/(N/(N-N))=24 N/N*(N-N)=24
    (N-N)*N/N=24
     
         
    //*    
    N/N/N*N=24 N*N/N/N=24  
    N/N/(N*N)=24 N/N/N/N=24 无解
    N/(N/N)*N=24 N/N*N*N=24
    N*N*N/N=24
     
    N/(N/N*N)=24 N/N*N/N=24
    N*N/N/N=24
     
         
    ///    
    N/N/N/N=24   无解
    N/N/(N/N)=24 N/N/N*N=24
    N*N/N/N=24
     
    N/(N/N)/N=24 N/N*N/N=24
    N*N/N/N=24
     
    N/(N/N/N)=24 N/N*N/N=24
    N*N/N/N=24
     

    算一算,要求出所有组合的解,需要穷举多少种可能

    需要穷举的运算式一共有50个

    之前说一共有715组,这715组每个组一共有4!=24中排列方式,24钟排列方式代入到50个运算式,则一共需要穷举

    715*24*50=858000

    是不是远小于之前的2779920种

    既然都是穷举,还不如把所有的结果都保存起来,这样穷举的可能性就只有200种不到了,秒杀所有的算法

    我想说的是,有时查表计算并不是一种坏的算法。要知道很多语言中求三角函数都是利用查表来快速计算的

    最后,说一句题外话,请教各位网友一个计算机的问题

    我有一台电脑,WIN7系统。近阶段出现一个怪现象

    在开机进入系统后,插入U盘,能正确识别使用U盘

    在过了一段时间后(大约半小时后),再插入U盘,要么没有反应,要么能识别出盘符,但是不能识别U盘内的东西。

    重启系统后,还是在进入系统后能识别U盘,但过了一段时间,问题照旧。

    哪位网友能给出解决方案?

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