基础数论--高斯消元

高斯消元是线性代数的一种算法，可用来求解线性方程组问题。

线性方程三大基本操作：

1)两方程互换，解不变；

2)一方程乘以非零数k，解不变；

3)一方程乘以数k加上另一方程，解不变

例题1：https://www.acwing.com/problem/content/885/

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
const double eps=1e-6;
double a[N][N];
int n;

int gauss(){
    int r,c;
    for(r=0,c=0;c<n;c++){
        //1.找到绝对值最大的
        int t=r;
        for(int i=r;i<n;i++)
        if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c]))
            t=i;
        if(fabs(a[t][c])<eps) continue;
        //2.把最大的换到上边
        for(int i=c;i<=n;i++) swap(a[t][i],a[r][i]);
        //3.把最大的c列变成1
        for(int i=n;i>=c;i--) a[r][i]/=a[r][c];
        //4.把下边的c列都变成0
        for(int i=r+1;i<n;i++)
            if(fabs(a[i][c])>eps)
                for(int j=n;j>=c;j--)
                    a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];
        r++;
    }
    if(r<n){
        for(int i=r;i<n;i++){
            if(fabs(a[i][n])>eps){
                return 1;
            }
        }
        return 2;
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];
        }
    }
    return 0;
}
int main(void){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    int t=gauss();
    if(t==0){
        for(int i=0;i<n;i++){
            printf("%.2lf
",a[i][n]);
        }
    }else if(t==1){
        cout<<"No solution"<<endl;
    }else if(t==2){
        cout<<"Infinite group solutions"<<endl;
    }
    return 0;
}

异或版本的高斯消元

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=110;
int n;
int a[N][N];
int gauss(){
    int r,c;
    for(r=0,c=0;c<n;c++){
        //找到1
        int t=r;
        for(int i=r;i<n;i++)
            if(a[i][c]){
                t=i;
                break;
            }
        if(a[t][c]==0) continue;
        //换上去
        for(int i=c;i<=n;i++){
            swap(a[r][i],a[t][i]);
        }
        //异或下边的
        for(int i=r+1;i<n;i++){
            if(a[i][c]){
                for(int j=c;j<=n;j++){
                    a[i][j]^=a[r][j];
                }
            }
        }
        r++;
    }
    if(r<n){
        for(int i=r;i<n;i++){
            if(a[i][n]){
                return 1;
            }
        }
        return 2;
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            a[i][n]^=a[i][j]&a[j][n];//a[i][j]为1时异或第j行
        }
    }
    return 0;
}
int main(void){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    int t=gauss();
    if(t==0){
        for(int i=0;i<n;i++){
            cout<<a[i][n]<<endl;
        }
    }else if(t==1){
        cout<<"No solution";
    }else if(t==2){
        cout<<"Multiple sets of solutions";
    }
    return 0;
}