组合数学基础。
#@author: gr
#@date: 2014-12-10
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一、排列、组合、二项式定理
1.1 加法、乘法原理
这章的知识基本用高中时的知识就可以解决了，分析每种情况，将所有情况相加。
1.2 排列与组合
排列： (P(n, n) = n!)
圆排列：n元集合S的r圆排列数为$$dfrac{P(n,r)}{r} = dfrac{n!}{r(n-r)!}$$
组合： $$C_n^m = frac{n!}{m!(n-m)!}$$
1.3 多重集合的排列与组合
- 多重集合$ M = { infty cdot a_1 , infty cdot a_2, cdots, infty cdot a_k }$ 的 r 排列数为 $$ k^r $$。
- 多重集合$ M = { k_1 cdot a_1 , k_2 cdot a_2, cdots, k_n cdot a_n }$ 的 全排列数为(dbinom{(k_1 + k_2 + cdots + k_n)!}{k_1 ! k_2 !cdots k_n!})。
- 多重集合$ M = { infty cdot a_1 , infty cdot a_2, cdots, infty cdot a_k }$ 的 r 组合数为 (dbinom{r + k - 1}{r})
二、容斥原理与鸽巢原理
1. 容斥原理
[mid overline A cap overline {B} cap overline C mid ~ = ~ mid S mid - (mid A mid + mid B mid + mid C mid) + (mid A cap B mid + mid A cap Cmid + mid B cap Cmid) - mid A cap B cap C mid
]
2. 鸽巢原理
三、递推关系
1. 递推关系与特征方程解
- ** 齐次：**
- 非齐次：
2. 迭代法求解递归关系
3. Fibonacci & Catalan
四、生成函数
1. 形式幂级数
2. 生成函数性质
[G{1} = 1 + x + x^2 + cdots + x^n + cdots = dfrac{1}{1-x}
]
[G{k} = x + 2x^2 + 3x^3 + cdots + nx^n + cdots = dfrac{x}{(1-x)^2}
]
[G{a^k} = dfrac{1}{1-ax}
]
[G{dfrac{1}{k!}} = e^x
]
[G{k^2} = dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}
]
[G{inom{n+k}{k}} = dfrac{1}{(1-x)^{n+1}}
]