一笔画问题
- 描述
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zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。
规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。
- 输入
- 第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。
每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）
随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。 - 输出
- 如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",
如果不存在符合条件的连线，输出"No"。 - 样例输入
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2 4 3 1 2 1 3 1 4 4 5 1 2 2 3 1 3 1 4 3 4
- 样例输出
-
No Yes
- 来源
- [张云聪]原创
做这道题之前，我们先引入一个列题........
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在18世纪的哥尼斯堡城里有七座桥。当时 有很多人想要一次走遍七座桥，并且每座桥只能经过一次。这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。你能一次走遍这七座桥，而又不重复吗？(自己动手画画吧）
答案
16.一笔画问题 这个问题，实际上是一笔画问题。 一笔画就是一笔可以画成一个图。 判断一笔画的方法： ①是连通的。一个图，如果图上任意二点总有线段连接着，就称为连通的。不是连通的就不能一笔画出。 ②奇点个数是0或者是2。图上线段的端点可以分成二类，奇点和偶数。一个点，以它为端点的线段数是奇数就称为奇点，线段数是偶数就称为偶点。 一个图是否是一笔画就看奇点的个数，奇点个数是 0 或者 2，就是一笔画，否则就不是一笔画。 哥尼斯桥问题，就是一笔画问题。但因A、B、C、D四个点都是奇点即奇点的个数是4，而不是0或2，所以不是一笔画，也就不能一次走遍，而又不重复。 |
针对这么个情况，所谓的连通图:
若无向图G是平凡图或者G中任意两点都是连通的，则称G是连通图，否则称G是非连通图。
关于弱连通图和强连通图:
弱连通图的概念是：如果略去D中各有向边的方向后所得无向图是连通图，则称D是弱连通图。
反之 若D中任何一对顶点都是互相可达的，则称D是强连通图。
所以这个问题完全可以转化策略为：
第一步： 首先我们不管它三七二十几，先进行连通性的判断。
第二步：
（1）如果是连通的，我们来判断此图的度的奇点的个数是0或者是2 ，如果是，则说明这个是欧拉图，即可以一笔画出，反之则不能一笔画出
（2）如果是非连通的，这说明这个图很定不能一笔画出。
代码为：
采用dfs算法求解：
1 /*nyoj 42 coder Gxjun*/ 2 /*一笔画问题*/ 3 #include<stdio.h> 4 #include<string.h> 5 #include<stdlib.h> 6 #define maxn 1005 7 int edge[maxn]; //度 8 bool vis[maxn],map[maxn][maxn]; 9 int pp , qq ; 10 void dfs( int pos ) 11 { 12 vis[pos]=true; 13 for( int i=1;i<=pp;i++) 14 if(!vis[i]&&map[pos][i]) 15 dfs(i); 16 } 17 18 int main() 19 { 20 int test ,i,j; 21 int x,y; 22 bool flag; 23 //freopen("test.in","r",stdin); 24 scanf("%d",&test); 25 while(test--){ 26 memset(edge,0,sizeof(edge)); 27 memset(map,0,sizeof(map)); 28 memset(vis,0,sizeof(vis)); 29 scanf("%d%d",&pp,&qq); 30 for(i=0;i<qq;i++){ 31 scanf("%d%d",&x,&y); 32 map[y][x]=map[x][y]=1; 33 edge[x]++; 34 edge[y]++; 35 } 36 dfs(1); 37 flag=true; 38 for(i=1;i<=pp ;i++){ 39 if(!vis[i]){ 40 flag=false; 41 break; 42 } 43 } 44 if(flag) 45 { 46 int ans=0; 47 for(i=1;i<=pp;i++) 48 if(edge[i]&1) ans++; 49 if( ans==0||ans==2 ) 50 puts("Yes"); 51 else 52 puts("No"); 53 } 54 else 55 puts("No"); 56 } 57 return 0; 58 }
采用并查集求解
代码：
1 /*并查集 @coder Gxjun*/ 2 /*一笔画问题*/ 3 #include<stdio.h> 4 #include<string.h> 5 #include<stdlib.h> 6 #define maxn 1001 7 int rank[maxn],father[maxn]; 8 int edge[maxn]; 9 int pp,qq; 10 void init(){ 11 for(int i=1;i<=pp;i++){ 12 father[i]=i; 13 rank[i]=1; 14 } 15 } 16 int set_find(int a){ 17 18 while(a!=father[a]) 19 a=father[a]; 20 return a; 21 } 22 //带状态压缩的并查集 23 void set_union(int x,int y){ 24 int a = set_find(x); 25 int b = set_find(y); 26 if(a!=b){ 27 if(rank[a]>rank[b]){ 28 father[b]=father[a]; 29 rank[a]+=rank[b]; 30 } 31 else{ 32 father[a]=father[b]; 33 rank[b]+=rank[a]; 34 } 35 } 36 } 37 38 int main() 39 { 40 int test,i,j,x,y; 41 //freopen("test.in","r",stdin); 42 scanf("%d",&test); 43 while(test--){ 44 scanf("%d%d",&pp,&qq); 45 memset(edge,0,sizeof(edge)); 46 init(); 47 for(i=0;i<qq;i++){ 48 scanf("%d%d",&x,&y); 49 set_union(x,y); 50 ++edge[x]; 51 ++edge[y]; 52 } 53 for(i=1;i<=pp;i++) 54 if(rank[i]==pp) break; 55 if(i<=pp) 56 { 57 int ans=0; 58 for(j=1;j<=pp;j++) 59 if(edge[j]&1)ans++; 60 if(ans==0||ans==2) puts("Yes"); 61 else puts("No"); 62 } 63 else puts("No"); 64 } 65 return 0; 66 }