01背包问题总结
一 问题描述：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
所谓01背包，表示每一个物品只有一个，要么装入，要么不装入。
二 解决方案：
考虑使用dp问题 求解，定义一个递归式 opt[i][v] 表示前i个物品，在背包容量大小为v的情况下，最大的装载量。
opt[i][v] = max(opt[i-1][v] , opt[i-1][v-c[i]] + w[i])
解释如下：
opt[i-1][v] 表示第i件物品不装入背包中，而opt[i-1][v-c[i]] + w[i] 表示第i件物品装入背包中。
花费如下：
时间复杂度为o(V * T) ，空间复杂度为o(V * T) 。 时间复杂度已经无法优化，但是空间复杂度则可以进行优化。
但必须将V 递减的方式进行遍历，即V.......0 的方式进行。
三 初始化：
（1）若要求背包必须放满，则初始如下：
f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示当容积为0时，只接受一个容积为0的物品入包。
（2）若要求背包可以空下，则初始化如下：
f[0...V] = 0 ，表示任意容积的背包都有一个有效解即为0。
具体解释如下：
初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。
如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，
其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。
如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，
这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
四 代码如下：
/*
01背包，使用了优化后的存储空间 建立数组 f[i][v] = max(f[i-1][v] , f[i-1][v-c[i]] + w[i]) 将前i件物品，放入容量为v的背包中的最大值。 下面介绍一个优化，使用一维数组，来表示(1) f[v]表示每一种类型的物品，在容量为v的情况下，最大值。 但是体积循环的时候，需要从v----1循环递减。 初始化问题： (1)若要求背包中不允许有剩余空间，则可以将f[0]均初始化为0，其余的f[1
..n]均初始化为-INF 。 表示只有当容积为0 的时候，允许放入质量为0的物品。 而当容积不为0的情况下，不允许放入质量为0的物品，并且把状态置为未知状态。 (2)若要求背包中允许有剩余空间 ，则可以将f[1n]，均初始化为0。 这样，当放不下去的时候，可以空着。 
*/
#include <iostream> using namespace std ; const int V = 1000 ; //总的体积 const int T = 5 ; //物品的种类 int f[V+1] ; //#define EMPTY //可以不装满 int w[T] = {8 , 10 , 4 , 5 , 5}; //价值 int c[T] = {600 , 400 , 200 , 200 , 300}; //每一个的体积 const int INF = -66536 ; int package() { #ifdef EMPTY for(int i = 0 ; i <= V ;i++) //条件编译，表示背包可以不存储满 f[i] = 0 ; #else f[0] = 0 ; for(int i = 1 ; i <= V ;i++)//条件编译，表示背包必须全部存储满 f[i] = INF ; #endif for(int i = 0 ; i < T ; i++)
{ for(int v = V ; v >= c[i] ;v--) //必须全部从V递减到0 { f[v] = max(f[v-c[i]] + w[i] , f[v]) ; //此f[v]实质上是表示的是i-1次之前的值。
} } return f[V] ; } int main() { int temp = package() ; cout<<temp<<endl ; system("pause") ; return 0 ;