• hdu 1695 GCD(莫比乌斯反演)


    题意:这题求[1,b],[1,d]gcd为k的对数。

    思路:转化之后就是[1,b/k],[1,d/k]之间互质的数的个数。

    设f(k)为gcd(x,y)=k的数对(x,y)的对数,我们要求的是f(1)
    设g(k)为gcd(x,y)为k的倍数的数对(x,y)的对数,可以想到g(k)=floor(b/k)*floor(d/k),
    由莫比乌斯反演得:
    令lim=min(b/k,d/k)
    f(1)=mu[1]*g(1) + mu[2]*g[2] + ... + mu[lim]*g(lim)
    因为(n1,n2)和(n2,n1)算为同一种情况,所以最后结果还要减掉重复的情况。

    ps:这道题还可以用容斥做。

    代码1:朴素求法

    #include<iostream>
    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    using namespace std;
    
    const int MAXN=1000000;
    bool check[MAXN+10];
    int prime[MAXN+10];
    int mu[MAXN+10];
    void Mobius(){
        memset(check,false,sizeof(check));
        mu[1]=1;
        int tot=0;
        for(int i=2;i<=MAXN;i++){
            if(!check[i]){
                prime[tot++]=i;
                mu[i]=-1;
            }
            for(int j=0;j<tot;j++){
                if(i*prime[j]>MAXN)break;
                check[i*prime[j]]=true;
                if(i%prime[j]==0){
                    mu[i*prime[j]]=0;
                    break;
                }
                else{
                    mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                }
            }
        }
    }
    
    int main(){
        Mobius();
        int t,i;
        int a,b,c,d,k;
        scanf("%d",&t);
        for(i=1;i<=t;i++){
            scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
            if(k==0){
                printf("Case %d: 0
    ",i);
                continue;
            }
            b/=k;
            d/=k;
            if(b>d)swap(b,d);
            long long ans1=0;
            for(int j=1;j<=b;j++)
                ans1+=(long long)mu[j]*(b/j)*(d/j);
            long long ans2=0;
            for(int j=1;j<=b;j++)
                ans2+=(long long)mu[j]*(b/j)*(b/j);
            ans1-=ans2/2;
            printf("Case %d: %I64d
    ",i,ans1);
        }
        return 0;
    }
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    代码2:分块优化

    #include<iostream>
    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    using namespace std;
    
    const int MAXN=100000;
    bool check[MAXN+10];
    int prime[MAXN+10];
    int mu[MAXN+10];
    void Mobius(){
        memset(check,false,sizeof(check));
        mu[1]=1;
        int tot=0;
        for(int i=2;i<=MAXN;i++){
            if(!check[i]){
                prime[tot++]=i;
                mu[i]=-1;
            }
            for(int j=0;j<tot;j++){
                if(i*prime[j]>MAXN)break;
                check[i*prime[j]]=true;
                if(i%prime[j]==0){
                    mu[i*prime[j]]=0;
                    break;
                }
                else{
                    mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                }
            }
        }
    }
    int sum[MAXN+10];
    //找[1,n],[1,m]内互质的数的对数
    long long solve(int n,int m){
        long long ans=0;
        for(int i=1,la=0;i<=n;i=la+1){
            la=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=(long long)(sum[la]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
        }
        return ans;
    }
    
    int main(){
        Mobius();
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=MAXN;i++)
            sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
        int t,i;
        int a,b,c,d,k;
        scanf("%d",&t);
        for(i=1;i<=t;i++){
            scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
            if(k==0){
                printf("Case %d: 0
    ",i);
                continue;
            }
            b/=k;
            d/=k;
            if(b>d)swap(b,d);
            long long ans1=solve(b,d);
            long long ans2=solve(b,b);
            ans1-=ans2/2;
            printf("Case %d: %I64d
    ",i,ans1);
        }
        return 0;
    }
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