[转载]功率谱密度（功率信号）、能量谱密度（能量信号）

原文地址：功率谱密度（功率信号）、能量谱密度（能量信号）作者：-LAY-

一、能量信号和功率信号

    根据信号可以用能量式或功率式表示可分为能量信号和功率信号。

能量信号，如各类瞬变信号。

在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。显然，电压信号加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为P(t)= x²(t)/R=x²(t)。瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量。通常不考虑量纲，而直接把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。当x(t)满足

                        

则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。

功率信号，如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。

若x(t)在区间(-∞, ∞)的能量无限，不满足(1.3)式条件，但在有限区间(-T/2,T/2)满足平均功率有限的条件

                        

 

二、频谱和频谱密度

频谱密度：设一个能量信号为s(t),则它的频谱密度S（w）可以由付氏变换求得。

S(w)=F(s(t))

能量信号的频谱密度S（f）和功率信号C（jnw）（比如一个周期信号）的频谱主要区别有：

（1）S（f）是连续谱，而C（jnw）是离散谱；

（2）S（f）单位是幅度/频率，而C（jnw）单位是幅度；（这里都是指其频谱幅度）

（3）能量信号的能量有限，并连续的分布在频率轴上，每个频率点上的信号幅度是无穷小的，只有df上才有确定的非0振幅；

功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非0振幅。

请看下面的推导：

由周期信号推导非周期信号的频谱（频谱密度）：

 

由上面可以看书，F（jW）是一个谱密度函数，它的实际幅度是F(nΩ)，是个无穷小量，但是F(nΩ)*2π/Ω以无穷小/无穷小得到一个常量，单位是幅度/频率。

并且F(nΩ)*2π/Ω = F(nΩ)*2π/(2πΔf) = F(nΩ)/Δf = F(nΩ)δ(nΩ),在频域上积分就是其频谱幅度。

同时，

 

其中，An/2=Cn=F(nΩ)（Cn是以e ^jnΩt为基底的系数）

三 功率谱(密度)与能量谱（密度）

功率谱：也称功率谱密度（PSD），单位是功率/Hz。针对功率有限信号的(能量有限信号用能量谱密度)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。

能量谱：也叫能量谱密度，单位是焦耳/Hz。针对能量有限的信号，能量信号傅里叶变换绝对值的平方就是能量谱（密度）【帕塞瓦尔定理】。

功率谱针对能量无限（功率有限）的功率信号，功率信号不满足傅里叶变换的绝对可积的条件，其付里叶变换是不存在的，如正弦函数的付里叶变换是不存在，只有引入了冲激函数才求得其付里叶变换。功率谱不能直接进行傅立叶变换，通常使用短截函数进行截取后，如图：

使用时间T进行短截原来的信号，当T->无穷大时：

这是对模拟信号的时域计算方法，当进行AD采样，变为数字信号后，宜根据下文计算方法求功率谱。

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四功率谱计算公式

周期图法：它是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。

      

|X(e^jw)|²=y.*conj(y)=real² +imag²= abs(y) ²

自相关法： 根据维纳-辛钦定理，先估计相关函数，再经傅立叶变换得功率谱估计。

功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱具有单位频率的平均功率量纲，所以标准叫法是功率谱密度。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。

能量信号频谱通常既含有幅度也含有相位信息；傅里叶变换幅度谱的平方（二次量纲），又叫能量谱（密度），它描述了信号能量的频域分布；功率信号的功率谱描述了信号功率随频率的分布特点，也已证明，信号功率谱恰好是其自相关函数的傅氏变换。