题解报告——奖励关

题目背景

08四川NOI省选

题目描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入输出格式

输入格式：

第一行为两个正整数k 和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种

宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各

宝物编号为1到n），以0结尾。

输出格式：

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

输入输出样例

输入样例#1： 

1 2
1 0
2 0

输出样例#1： 

1.500000

输入样例#2： 

6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0

输出样例#2： 

10.023470

说明

1 <= k <= 100, 1 <= n <= 15，分值为[-106,106]内的整数。

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【思路分析】

这道题显而易见，是一道动规题，那么怎么写动规呢？可以发现每个宝藏要被吃掉是有前提条件的，只有满足有哪些物品后才能吃当前的宝藏，所以我们在吃一个宝藏前需要知道我们是否能吃当前这个宝藏，那么就用一个数组下标来作为二进制记录某个宝藏是否吃了，由于n<=15所以我们就可以放心大胆地使用状态压缩了，每次再除去一下可能性的总数，就得到了方案概率了。

【代码实现】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int need[105];
int ww[105];
double f[105][1<<15];
int main()
{
    int k,n;
    scanf("%d%d",&k,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&ww[i]);
        while(true)
        {
            int a;
            scanf("%d",&a);
            if(a==0) break;
            need[i]=need[i]|(1<<a-1);
        }
    }
    for(int i=k;i>=1;i--)
    for(int j=0;j<(1<<n);j++)
    {
        for(int t=1;t<=n;t++)
        {
            if((j&need[t])==need[t])
            f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|(1<<t-1)]+ww[t]);
            else
            f[i][j]+=f[i+1][j];
        }
        f[i][j]/=n;
    }
    printf("%.6lf",f[1][0]);
    return 0;
}