poj1222(枚举or高斯消元解mod2方程组)

题目链接: http://poj.org/problem?id=1222

题意: 有一个 5 * 6 的初始矩阵, 1 表示一个亮灯泡, 0 表示一个不亮的灯泡. 对 (i, j) 位置进行一次操作则 (i, j), (i + 1, j), (i - 1, j), (i, j - 1),  (i, j + 1) 位置的灯泡变为原来的相反状态, 输出一种能让所有灯泡都变成不亮状态的操作集合.

思路:

1. 可以先枚举第一行的所有操作集合, 2^6 种, 第一行的每一种操作后都得到一个灯泡状态集合, 然后再根据第一行的灯泡状态确定第二行的操作, 若 (1, j) 亮, 则(2, j) 必定要进行一次操作, 若(1, j) 不亮, 则 (2, j) 一定不能进行操作. 依次根据上一行的灯泡状态确定下一行的操作. 然后再对最后一行灯泡的状态进行检查, 若全部不亮则得到一个解.

代码:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;

const int N = 5;
const int M = 6;
const int MAXN = 10;
int mp[MAXN][MAXN], sol[MAXN][MAXN];
bool flag = false;
int cas;

bool check(void){
    int gel[MAXN][MAXN];
    memcpy(gel, mp, sizeof(mp));
    for(int i = 1; i <= M; i++){
        if(sol[1][i]){
            gel[1][i] ^= 1;
            gel[1][i - 1] ^= 1;
            gel[1][i + 1] ^= 1;
            gel[2][i] ^= 1;
            gel[0][i] ^= 1;
        }
    }
    for(int i = 2; i <= N; i++){
        for(int j = 1; j <= M; j++){
            if(gel[i - 1][j]){
                sol[i][j] = 1;
                gel[i][j] ^= 1;
                gel[i][j - 1] ^= 1;
                gel[i][j + 1] ^= 1;
                gel[i - 1][j] ^= 1;
                gel[i + 1][j] ^= 1;
            }else sol[i][j] = 0;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= M; i++){
        if(gel[N][i]) return false;
    }
    printf("PUZZLE #%d
", cas);
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        for(int j = 1; j <= M; j++){
            cout << sol[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return true;
}

void dfs(int m){
    if(flag) return;
    if(m > M){
        if(check()) flag = true;
        return;
    }
    sol[1][m] = 1;
    dfs(m + 1);
    sol[1][m] = 0;
    dfs(m + 1);
}

int main(void){
    int t;
    cin >> t;
    for(cas = 1; cas <= t; cas++){
        for(int i = 1; i <= N; i++){
            for(int j = 1; j <= M; j++){
                cin >> mp[i][j];
            }
        }
        flag = false;
        dfs(1);
        if(!flag){
            printf("PUZZLE #%d
", cas);
            cout << "inf" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

2. 把 30 个灯泡对应的操作当作 30 个未知数, 其解为 1 或 0, 1 表示对该位置进行一次操作, 0 表示不对该位置进行操作, 每个操作对应一个 1* 30 系数矩阵, 1 表示进行该操作后这个位置的灯泡状态会改变, 0 表示进行该操作后该位置的灯泡状态不会改变. 然后可以列 30 个方程, 常数项为对应位置的灯泡初始状态. 然后直接用高斯消元解一下即可.

关于高斯消元:

高斯消元法的原理是：
若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。
以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。
首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：
(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)
1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。
3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。
① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
② 唯一解
条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。从最后一行开始回代逐一求出解集。
③ 无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
    这里单独介绍下这种解法：
首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。

这段话是从其他博客中摘过来的.

代码:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 3e2;
int equ = 30, var = 30;//有equ个方程,var个变元,增广矩正行数为equ,列数为var+1,从0开始计数
int a[MAXN][MAXN];//增广矩正
int free_x[MAXN];//用来存储自由变元(多解枚举自由变元可以使用)
int free_num;//自由变元个数
int x[MAXN];//解集

int Gauss(void){//返回-1表示无解,0表示有唯一解,否则返回自由变元个数
    int max_r, col, k;
    free_num = 0;
    for(k = 0, col = 0; k < equ && col < var; k++, col++){
        max_r = k;
        for(int i = k + 1; i < equ; i++){
            if(abs(a[i][col] > abs(a[max_r][col]))) max_r = i;
        }
        if(a[max_r][col] == 0){
            k--;
            free_x[free_num++] = col;//这个是变元
            continue;
        }
        if(max_r != k){
            for(int j = col; j < var + 1; j++){
                swap(a[k][j], a[max_r][j]);
            }
        }
        for(int i = k + 1; i < equ; i++){
            if(a[i][col] != 0){
                for(int j = col; j < var + 1; j++){
                    a[i][j] ^= a[k][j];
                }
            }
        }
    }
    for(int i = k; i < equ; i++){
        if(a[i][col] != 0) return -1;//无解
    }
    if(k < var) return var - k;//返回自由变元个数
    for(int i = var - 1; i >= 0; i--){
        x[i] = a[i][var];
        for(int j = i + 1; j < var; j++){
            x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
        }
    }
    return 0;
}

int main(void){
    int t, n;
    cin >> t;
    for(int cas = 1; cas <= t; cas++){
        for(int i = 0; i < 30; i++){
            cin >> a[i][30];
            x[i] = 0;//清空数组
        }
        for(int i = 0; i < 30; i++){//构造增广矩阵
            int x1 = i / 6;
            int y1 = i % 6;
            for(int j = 0; j < 30; j++){
                int x2 = j / 6;
                int y2 = j % 6;
                if(abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2) < 2) a[j][i] = 1;
                else a[j][i] = 0;
            }
        }
        Gauss();
        cout << "PUZZLE #" << cas << endl;
        for(int i = 0; i < 30; i++){
            cout << x[i] << " ";
            if((i + 1) % 6 == 0) cout << endl;
        }
    }
    return 0;
}