堆排序原理及算法实现（最大堆）

堆排序

       堆排序是利用堆的性质进行的一种选择排序。以下先讨论一下堆。

1.堆

  堆实际上是一棵全然二叉树，其不论什么一非叶节点满足性质：

  Key[i]<=key[2i+1]&&Key[i]<=key[2i+2]或者Key[i]>=Key[2i+1]&&key>=key[2i+2]

  即不论什么一非叶节点的keyword不大于或者不小于其左右孩子节点的keyword。

  堆分为大顶堆和小顶堆，满足Key[i]>=Key[2i+1]&&key>=key[2i+2]称为大顶堆，满足 Key[i]<=key[2i+1]&&Key[i]<=key[2i+2]称为小顶堆。由上述性质可知大顶堆的堆顶的keyword肯定是全部keyword中最大的，小顶堆的堆顶的keyword是全部keyword中最小的。

2.堆排序的思想

   利用大顶堆(小顶堆)堆顶记录的是最大keyword(最小keyword)这一特性，使得每次从无序中选择最大记录(最小记录)变得简单。

    其基本思想为(大顶堆)：

    1)将初始待排序keyword序列(R1,R2....Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无须区；

    2)将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,......Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2...n-1]<=R[n]; 

    3)因为交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此须要对当前无序区(R1,R2,......Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2....Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断反复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完毕。

    操作步骤例如以下：

     1)初始化堆：将R[1..n]构造为堆；

     2)将当前无序区的堆顶元素R[1]同该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为新的堆。

    因此对于堆排序，最重要的两个操作就是构造初始堆和调整堆，其实构造初始堆其实也是调整堆的过程，仅仅只是构造初始堆是对全部的非叶节点都进行调整。

    以下举例说明：

     给定一个整形数组a[]={16,7,3,20,17,8}，对其进行堆排序。

    首先依据该数组元素构建一个全然二叉树，得到

 

 然后须要构造初始堆，则从最后一个非叶节点開始调整，调整步骤例如以下：

20和16交换后导致16不满足堆的性质，因此需又一次调整

这样就得到了初始堆。

即每次调整都是从父节点、左孩子节点、右孩子节点三者中选择最大者跟父节点进行交换(交换之后可能造成被交换的孩子节点不满足堆的性质，因此每次交换之后要又一次对被交换的孩子节点进行调整)。有了初始堆之后就能够进行排序了。

此时3位于堆顶不满堆的性质，则需调整继续调整

 这样整个区间便已经有序了。

    从上述过程可知，堆排序其实也是一种选择排序，是一种树形选择排序。仅仅只是直接选择排序中，为了从R[1...n]中选择最大记录，需比較n-1次，然后从R[1...n-2]中选择最大记录需比較n-2次。其实这n-2次比較中有非常多已经在前面的n-1次比較中已经做过，而树形选择排序恰好利用树形的特点保存了部分前面的比較结果，因此能够降低比較次数。对于n个keyword序列，最坏情况下每一个节点需比較log2(n)次，因此其最坏情况下时间复杂度为nlogn。堆排序为不稳定排序，不适合记录较少的排序。

 

測试程序

/*堆排序(大顶堆) 2011.9.14*/ 

#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

void HeapAdjust(int *a,int i,int size)  //调整堆 
{
    int lchild=2*i;       //i的左孩子节点序号 
    int rchild=2*i+1;     //i的右孩子节点序号 
    int max=i;            //暂时变量 
    if(i<=size/2)          //假设i不是叶节点就不用进行调整 
    {
        if(lchild<=size&&a[lchild]>a[max])
        {
            max=lchild;
        }    
        if(rchild<=size&&a[rchild]>a[max])
        {
            max=rchild;
        }
        if(max!=i)
        {
            swap(a[i],a[max]);
            HeapAdjust(a,max,size);    //避免调整之后以max为父节点的子树不是堆 
        }
    }        
}

void BuildHeap(int *a,int size)    //建立堆 
{
    int i;
    for(i=size/2;i>=1;i--)    //非叶节点最大序号值为size/2 
    {
        HeapAdjust(a,i,size);    
    }    
} 

void HeapSort(int *a,int size)    //堆排序 
{
    int i;
    BuildHeap(a,size);
    for(i=size;i>=1;i--)
    {
        //cout<<a[1]<<" ";
        swap(a[1],a[i]);           //交换堆顶和最后一个元素，即每次将剩余元素中的最大者放到最后面 
          //BuildHeap(a,i-1);        //将余下元素又一次建立为大顶堆 
          HeapAdjust(a,1,i-1);      //又一次调整堆顶节点成为大顶堆
    }
} 

int main(int argc, char *argv[])
{
     //int a[]={0,16,20,3,11,17,8};
    int a[100];
    int size;
    while(scanf("%d",&size)==1&&size>0)
    {
        int i;
        for(i=1;i<=size;i++)
            cin>>a[i];
        HeapSort(a,size);
        for(i=1;i<=size;i++)
            cout<<a[i]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}