「6月雅礼集训 2017 Day5」仰望星空

【题目大意】

给你$n$个点，被一个半径为$R$的元圆划分成内（包含边界）、外两个部分。

要连若干线，每个点只能连一条线，不存在重点和三点共线。

线只能连在内部点和外部点之间，线长度不超过$d$。

如果一个外部点$w$和三个内部点$x,y,z$距离都不超过$d$，且两个内部点$x,z$没有和外部点$w$连线，我们准备从外部点$w$连到内部点$y$。那么如果$x$和$z$的连线有和$w$和$y$的连线相交，那么是不合法的。

求合法情况下，最多连多少线。以及方案。

$1 leq n leq 10^3, 1 leq |x_i|, |y_i|, d, R leq 2 imes 10^4$

【题解】

考虑先把点分类。很明显发现答案=最大匹配。

对于每个外部点，以它为中心把内部点极角排序，那么得到了一个访问序列，然后我们直接跑匈牙利即可。

考虑这样如何保证那个奇怪的条件：

如果$x,y,z$按极角序顺次排过来，那么扫到$y$的时候，$x$如果没被匹配，一定先被扫描了，并当做匹配点。

所以这样保证了没有奇怪的条件这个情况。

然后我们就能求出匹配，考虑求方案。

对于匹配，需要找到一个合法的连边顺序（就保证一定要按这个极角序从前往后连边即可）

暴力找方案即可。

总复杂度$O(n^3)$，匈牙利跑不满，而且n一般来说为n/2（因为把点分成了一半）

这里极角排序可以用叉积，因为是圆外的点朝圆内的点连边，角度范围小于180°。

# include <stdio.h>
# include <string.h>
# include <iostream>
# include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;

const int M = 1010, N = 1e5 + 10;
const int mod = 998244353;

int n, R, d;
struct P {
    int x, y;
    P() {}
    P(int x, int y) : x(x), y(y) {}
    friend P operator + (P a, P b) {
        return P(a.x + b.x, a.y + b.y);
    }
    friend P operator - (P a, P b) {
        return P(a.x - b.x, a.y - b.y);
    }
    friend int operator * (P a, P b) {
        return a.x * b.y - a.y * b.x;
    }
}a[M], b[M], C;
int an, bn;

struct pa {
    P a;
    int id;
    pa() {}
    pa(P a, int id) : a(a), id(id) {}
}c[M]; int cn;

P cmp_t;
int g[M][M], gn[M];
inline bool cmp(pa a, pa b) {
    return (a.a - cmp_t) * (b.a - cmp_t) > 0;
}

inline ll dis2(P a, P b) {
    return (a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y);
}


bool vis[M];
int from[M], to[M];
int aid[M], bid[M];

inline int hungry(int x) {
    for (int i=1; i<=gn[x]; ++i) {
        if(!vis[g[x][i]]) {
            vis[g[x][i]] = 1;
            if(from[g[x][i]] == 0 || hungry(from[g[x][i]])) {
                from[g[x][i]] = x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main() {
    freopen("etoile.in", "r", stdin);
    freopen("etoile.out", "w", stdout);
    cin >> n >> R >> d;
    for (int i=1, _x, _y; i<=n; ++i) {
        scanf("%d%d", &_x, &_y);
        if(i == 1) C = P(_x, _y);
        if(dis2(P(_x, _y), C) <= (ll)R * R) aid[++an] = i, a[an] = P(_x, _y);
        else bid[++bn] = i, b[bn] = P(_x, _y);
    }
    
//    puts("===========");
//    for (int i=1; i<=an; ++i) printf("%d %d
", a[i].x, a[i].y);
//    puts("===========");
//    for (int i=1; i<=bn; ++i) printf("%d %d
", b[i].x, b[i].y);
//    puts("===========");
    
    for (int i=1; i<=bn; ++i) {
        cmp_t = b[i]; cn = 0;
        for (int j=1; j<=an; ++j) 
            if(dis2(a[j], cmp_t) <= (ll)d * d) c[++cn] = pa(a[j], j);
        sort(c+1, c+cn+1, cmp);
        for (int j=1; j<=cn; ++j) g[i][j] = c[j].id;
        gn[i] = cn;
    }
    
    int ans = 0;
    for (int i=1; i<=bn; ++i) {
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        ans += hungry(i);
    }

    for (int i=1; i<=an; ++i) to[from[i]] = i;

    memset(vis, 0, sizeof vis);
    cout << (ans << 1) << endl;
    
    for (int i=1; i<=ans; ++i) {
        bool hv = 0;
        for (int j=1; j<=bn; ++j) {
            if(!to[j]) continue;
            for (int k=1; k<=gn[j]; ++k) {
                if(!vis[g[j][k]]) {
                    if(g[j][k] == to[j]) hv = 1;
                    break;
                }
            }
            if(hv) {
                vis[to[j]] = 1;
                printf("%d %d
", bid[j], aid[to[j]]);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}
/*
10 5530 5385
8 5730
5220 61
2896 2950
1025 649
5509 1773
6057 2432
6435 975
5366 8341
1127 3616
2849 1689
*/