【莫比乌斯反演】专题总结

为什么感觉我好像之前学过这玩意- -?

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演就是一个能求gcd为多少的个数有几个的东西- -（反正我只知道这么用）

f(x)表示gcd为x的倍数的个数

g(x)表示gcd为x的个数

莫比乌斯反演的基本形式是

f(n) = Σ (g(d))   d | n
g(n) = Σ (g(d) * miu (n / d))  d | n

还有一种形式是

f(n) = Σ (g(d))  n | d
g(n) = Σ (f(d) * miu (d / n))  n | d

其中miu(i)是莫比乌斯函数

莫比乌斯函数

           1           (i==1)

miu[i]=-1^k      (i为k个不同质数相乘)

          0            (其他情况)

求莫比乌斯函数可以用线性筛法O(n)求出

O(n)求莫比乌斯函数代码

void makepri(){
    miu[1]=1;
    for (int i=2;i<N;i++){
        if (!bo[i]) pri[++pri[0]]=i,miu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=pri[0] && i*pri[j]<N;j++){
            bo[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j]==0){
                miu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }else miu[i*pri[j]]=-miu[i];
        }
    }
}

优化

用暴力for求g[i]的时间复杂度是O(n)的

但是有的题目会给出很多询问 导致O(n)不能满足出题人- -

假设题目要求gcd(x,y)=1的个数(1<=x<=n,1<=y<=m)

那么f[i]=[n/i]*[m/i]

我们发现[n/i]的值只有√n种 可以按值分块求答案

代码还很短- -

for (int i=1,last=0;i<=n && i<=m;i=last+1){
    last=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
    res+=(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
}