图论算法与模型（训练指南题库）

一、基础题目

1、UVA 11624 Fire！迷宫问题 多源BFS

题意：

帮助joe走出一个大火蔓延的迷宫，其中joe每分钟可往上下左右四个方向之一走，所有着火的格子都会蔓延（空格与着火格有公共边，下一分钟这个空格也会着火）。迷宫中有一些障碍格，joe和火都无法进入，当joe走到一个边界的格子我们认为他走出了迷宫

输出R行C列的迷宫，#表示墙，.表示空地，J表示joe，F是着火格

如果能走出，输出最少时间否则，impossible

思路：

先预处理出每个点的起火时间，可以用多源点BFS直接处理出来

再用BFS求从出发点到边界的最短路，每次扩展点的时候保证走到该点的时间严格小于该点起火时间

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/R4bpSJDGvP/

2、UVA 10047 The Monocycle 迷宫问题 复合状态

 题意：

从起点到终点，每秒可以选择前进、向左、向右转， 每前进一格轮子转到下一个颜色， 一共5种颜色， 开始的时候绿色接触地面，朝北， 要求最后也绿色接触地面，求能否到达目标点以及最短时间。

思路：

BFS 多了两维状态 直接模拟即可

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/QRDxqFxN6F/

3、UVA 10054 The Necklace 欧拉回路

题意：

n个珠子，每个珠子的两半由不同的颜色组成。 只有相同的颜色才能接在一起， 问能否组成一个一个项链。

思路：

判断每个点的度数均为偶数个，判断图联通，注意有重边。然后用刘汝佳的欧拉回路模板即可。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/9VPsbRh53M/

4、UVALive 4255 Guess 拓扑排序

题意：

对于一个序列a1,a2,a3,….an，我们可以计算出一个符号矩阵S，就是上面右图矩阵，其中S(i,j)表示 ai+…+aj的正负号，给出序列不难求出矩阵，我们的任务是求出“逆问题”，即给出矩阵，求出序列，序列每个值大于-10小于10；

思路：

拓扑排序即可，主意需要用Kahn算法进行拓扑排序，因为有多个入度为0的点的话，必须设置成权值一样的点。

 代码：

https://paste.ubuntu.com/p/VwF7NcWZnx/

二、DFS的应用

二分图判定 无向图割顶和桥 无向图双连通分量 有向图强连通分量 2-SAT问题

1、UVAlive 3523 Knights of the Round Table 二分图+双连通分量

题意：

有n(n≤1000)个骑士，m(m≤1000000)对骑士互相憎恨，要3个以上的骑士且保证互相憎恨的骑士不会坐在相邻位置才能开会议，求多少骑士一定不能参加任何一次会议。

思路：

首先建图，两个骑士可以相邻，那么就连边。那么题目转化成求不在任何一个简单奇圈上的节点的个数。如果图G不连通，那么分成几个连通分量来求解。

假设图G连通，那么简单圈上的点必然属于一个双连通分量，所以先找出所有双连通分量。

二分图的充要条件是没有奇圈，可以很明显的得到：如果一个双连通分量是二分图，那么里面的点一定不在奇圈上。

如果一个双连通分量不是二分图，那么里面的点会在奇圈上吗？

答案是一定在奇圈上，首先双连通分量不是二分图，那么里面一定存在一个奇圈C。对于这个连通分量里面的点，有两种状态，在C上和不在C上。

在C上的话，本身C就是一个奇圈

不在C上的话，可以构造出一个奇圈出来。在C上取两点u1和u2，u1到u2有两条不相交路径，并且长度为一奇一偶，对于C外的任意一点v，由于是在双连通分量内，v到u1，v到u2有不相交的两条路径，这样的话，由于u1到u2之间既有偶数长度的路径，也有奇数长度的路径，所以v一定可以和u1 u2构造出奇圈出来。

整理一下思路就是首先求出所有的双连通分量，再判断这个双连通分量是不是二分图，如果不是二分图，那么该连通分量里面的点都为可以在奇圈的点，处理出所有可以在奇圈上的点之后，再算出不可以在奇圈上的点的数目即可。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/KjYRQ2rDwR/

2、UVAlive 5135 Mining Your Own Business 双连通分量 割顶

题意：

一座地下稀有金属矿由n条隧道和一些连接点组成，每条隧道连接两点。任意两点之间最多一条隧道。你的任务是在一些连接点处安装逃生装置，使得不管哪个连接点倒塌，不在此连接点的所有矿工都能到达太平井逃生。为了节约成本，你应当在尽量少的连接点安装太平井。输出数目和方案数。

思路：

本题模型：在无向图上选择尽量少的点涂黑，使得任意删除一个点后每个连通分量至少有一个黑点。

可以这样想，如果删除点是割点，那么割点会把图分成几个连通分量，那么至少需要这么多个黑点。

最优策略是对于一个点-双连通分量中如果只有一个割点，那么这里面必须选一个染黑，染黑方法为除了割点之外的点任选一个即可。

特殊情况：只有一个双连通分量，此时一定没有割点，因为割点是至少两个不同双连通分量的公共点。那么任意染黑两个点即可。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/vVDvKv8XhS/

3、UVAlive 4287 Proving Equivalences 强连通分量 缩点

题意：

给出n个点，m条边，问最少添加多少条边，使得有向图为强连通

思路：

缩点，构成新图DAG，在新图上，入度为0的点数目为a，出度为0的点数目为b，ans = Max(a, b)，特判，如果本来就是强连通的，那么ans = 0

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/q2RTbKv26y/

4、UVA 11324 The Largest Clique 强连通分量 缩点  DP

题意：

给一张有向图G，求一个节点数最大的节点集合，使得该集合中任意两个点u和v满足，要么u可以到达v，要么v可以到达u。（u、v相互到达也可以）

思路：

最优解中，同一个强连通分量中的点，要么全选，要么全不选。所以可以缩点，构造出DAG图，图上每个点的价值为这个强连通分量里面的点的个数。然后用记忆化搜索求出最大权值的路径即可。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/YrpPGbpM46/

5、UVAlive 3211 Now or later 二分 2-SAT

题意：

n架飞机，每架可选择两个着落时间。安排一个着陆时间表，使得着陆间隔的最小值最大。

思路：

二分着陆间隔最小值，用2-SAT判定

对于i飞机的a状态和j飞机的b状态，如果他们之间的距离小于二分的值，说明不能满足二分的最小值，所以a状态和b状态不能同时存在，所以在2-SAT中添加i = !a  or j = !b的判定条件。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/BCjBNnwF85/

 

6、UVAlive 3713 Astronauts 2-sat

题意：

有A,B,C三个人物要分配个N个宇航员，每个宇航员恰好要分配一个任务，设平均年龄为X，只有年龄大于或等于X的宇航员才能分配任务A。只有年龄严格小于X的宇航员才能分配任务B。而任务C没有限制。有M对宇航员相互讨厌，因此不能分配到同一任务。编程找出一个满足上述所有要求的任务分配方案。

思路：

宇航员分成两类，一类做A(true)和C(false) 一类做B(true)和C(false)

如果两人互相憎恨，对于同类的宇航员，必须是1true 1false 用两个语句限制：xi or xj 　　!xi or !xj

对于一类的宇航员，只要不是都是C即可，那就是一个语句xi or xj

题目说输入m=0 n=0是结束，必须两个同时为0输入结束，一个为0不行。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/hd4TKHNTDB/ 

7、UVA 11396 Claw Decomposition 二分图判定

题意：

给出一个简单无向图，每个点的度为3。判断能否将此图分解成若干爪的形式，使得每条边都只出现在唯一的爪中。（点可以多次出现在爪中）

思路：

稍加推理可以知道，一个点如果是爪的那个"头"，那么与他相邻的点不是"头"，那么与这些不是头相邻的点一定是"头"。这就是二分图判定即可。

WA了几发因为数组没清空（无语.jpg，又开始这种低级错误了）

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/wfNBmxB8yW/

8、UVAlive 3486 Cells dfs用栈模拟

题意：

给一棵树，每次每次询问一个点是否是另一个点的祖先？

思路：

题目的读入就有点坑爹，注意，每个节点的值是说明它下面有多少个儿子节点，直接对于每个下标保存一个值即可。

询问u是不是v的祖先，可以用时间戳，在开始dfs的时候和结束的时候打标机，如果u的开始标记小于v的开始标记，并且u的结束标记大于v的结束标记，那么u一定是v的祖先。

注意用栈模拟。

题目在每两个样例之间需要输出空行，多输出空行会判成WA

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/g7sGXVr5jN/

9、UVA 10765 双连通分量

题意：

给定一个n个点的连通图，一个点的鸽子值定义为将他从图中删去后连通块的个数。求前m大鸽子值。

思路：

直接求双连通分量，如果一个点不是割点，那么只会在某一个双连通分量中出现一次，并且删去之后，连通块数目还是1。如果一个点是割点，删去之后分成k个连通块，说明这个点在k个双连通分量中出现过。所以直接统计双连通分量每个点出现次数即可。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/28sGwvDgdN/

10、UVA 11294 Wedding 2-SAT

题意：

n对夫妻参加婚礼，新郎和新娘是第0对夫妻，要求安排座位，新郎新娘不能坐同一侧，其余n-1对夫妻也不能让那个同侧，新娘只能看见对面坐的人，有m对有关系的人，她不想看见这同时看见两个有关系的人坐在对面。

思路：

这题也是2-SAT问题。首先设置新娘这一边为true，新郎这一边为false。需要初始化新娘在2-SAT内的mark数组中的2*i+1为true。

对于每一对夫妻不能同侧 那么可以 u or v 和 !u or !v两个语句表示。

对于有关系的两人不能在新娘的对面，也就是不能同为false 那么只需要语句 u or v表示即可。

注意输出的时候输出新娘这一侧坐的人，在开始的时候需要将新娘的true标记为1

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/ZQ4YYj85nM/

 

11、UVAlive 4452 The Ministers' Major Mess 2-SAT模型的建立

题意：

n个人对m个方案进行投票，每个人最多对m个方案中的4个投票，要么支持，要么反对，问是否存在最终决定，能够让每个投票人都有一半以上的建议被采纳。

在所有的最终决定中，那些方案的态度是可以却确定的？

注：一半以上，也就是当一个人投票数目<=2时，他提出的建议必须全部接受，数目为3 4时，至多只有一个建议不接受

思路：

对于投票数目小于等于2的，直接用2-SAT的标记数组，标记这个建议为true还是false。（检查是不是会有同时标记true和false的）

对于投票数目大于等于3的，至多一个不接受，也就是当一个不接受是，其他的必须接受。

这就回到了2-SAT的建图基础，2-SAT建图是建立析取式转化成两个蕴含式，u or v 等价于 !u ->v 和 !v->u 建图的时候也是G[u^1].push_back(v)和G[v^1].push_back(u)

现在直接告诉你蕴含式，所以可以直接建图。

对于一个人提出的建议u，如果u不成立，那么他提出的其他所有的建议必须接受，也就是!u->v

建好了图之后，就可以找是不是存在解，但并不是单纯的判断是不是有解，而是询问在所有解中，哪些方案的态度可以确定？

也就是在所有的解中，哪些方案永远是true，哪些永远是false

只需要在模板的solve函数中添加dfs(i)和dfs(i+1)

判断对于第i/2个方案而言，为true和为false是否有解，如果都有解，那就将标记清空，如果只有true有解，只记录为true，如果只有false有解，只记录为false，如果都无解，返回假。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/GwMtpYXBt6/

12、UVA 10972  RevolC FaeLoN 边-双连通分量

题意：

给一个无向图，要求将所有边改为有向边，求还需要添加多少有向边才能使其强连通。

思路：

一开始想的是寻找点-双连通分量，然后发现想错了，应该是求出边-双连通分量，因为边双连通分量就可以改成有向图的强连通分量。

缩点之后记录度数为0的点数目a和度数为1的点数目b。答案是a+(b+1)/2，因为一条边可以连接两个度数为1的点，使他们连通，一条边只能连一个度数为1的点，使其加入一个环中，构成强连通图。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/N87qGw6h77/

 

三、最短路的应用

Dijkstra Bellm-Ford SPFA Floyd

1、UVA 11374 Dijkstra 预处理 枚举

题意：

有两种车票，商务车票和经济车票。由于经济原因，商务车票只能买一张，经济车票可以买多张。车票都是双向的。现在问从起点到终点，的最短路径，以及商务车票在哪个站点用最划算和最后花费的总时间。

思路：

因为商务车票只能买一张，所以可以枚举到底买哪一张，如果可以在O(1)时间内计算出每种方案的最优解，那么整体时间复杂度在O(K),K为商务车票数目。

假设我们选择的商务车票a到b，那么从起点到a，从b到终点的时间求出来即可。也就是跑两个单源最短路径，预处理出从起点出发到各点的路径长度，和从各点到终点的路径长度。由于是双向边，从各个点到终点的最短路等价于从终点到各点的最短路。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/DzCj6s5drn/

2、UVA 10917 最短路树 DP 记忆化搜索

题意：

gbn最近打算穿过一个森林，但是他比较傲娇，于是他决定只走一些特殊的道路，他打算只沿着满足如下条件的（A,B）道路走：存在一条从B出发回家的路，比所有从A出发回家的路径都短。你的任务是计算一共有多少条不同的回家路径。其中起点的编号为1，终点的编号为2. 

思路：

存在一条从B出发回家的路，比所有从A出发回家的路径都短。等价于从B到终点的最短路d[B]小于从A到终点的最短路d[A]。

这样预处理d数组，然后dfs从起点到终点，每次走只有d[B] < d[A]才有有向边A->B。这是一个DAG图，可以用记忆化搜索记录路径条数

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/X9Kj6p2vGf/

3、UVAlive 4080 最短路树 

题意：

给N个点，M条边，如果两个点之间没有边，则默认为l。问所有点两两之间最短路之和是多少。然后删除一条边，问删除某一条边后最大是多少。

思路：

如果用floyd算法，需要算M次，时间复杂度为O(n³m)，很难承受，如果对每个点进行m次Dijkstra，那么总共需要进行n*m次dijkstra算法，时间复杂度为O(nm²logn)，还是很大。

这时最短路树派上用场，对于单源最短路径，只有删除最短路树上的这n-1条边，单源点最短路才会发生改变，这样对于每个点只需要删除这n-1条边，每个点dijkstra次数为n次，时间复杂度为O(n²mlogn)，根据数据范围可以接受。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/QQVS3pg96M/

4、UVA 10537 逆向Dijkstra 字典序

题意：

有两种节点，一种是大写字母，一种是小写字母，当时小写字母是要付1各单位的过路费，当时大写字母的时候要付当前自己财务的1/20分之一(向上取整)当做过路费。求最少带多少个物品从起点到终点能在最后交付的时候有k个物品。

坑点：从u->v,收取v点的路费

思路：

用dijkstra的思想逆推，d[i]表示到达i点至少需要的货物，每次取出d值最小的进行dijkstra算法。求出最短路后，正向推出字典序最小的解。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/R5qnGNk4mW/

5、UVA 11090 二分 bellman-ford

题意：

给定一个n个点m条边的加权有向图，求平均权值最小的回路。

思路：

二分最小平均权值，对于每条边减去这个二分值m，如果图中出现负环，那么说明最小平均权值小于等于m，否则大于m。

注意：需要先判断减去最大值+1后是否会出现负环，如果不出现说明没有环。

图不是联通的！！！！，判断是否存在负环的时候需要每个点判断一遍。

代码：

https://paste.ubuntu.com/p/JjjXCxNVDF/

6、UVA 11478 差分约束系统

题意：

思路：

代码：

7、UVAlive 4128 状态图设计 dijkstra

题意：

思路：

代码：

8、UVAlive 3561 状态图设计 dijkstra

题意：

思路：

代码：

9、UVAlive 3661 平面图的最小割 对偶图

题意：

思路：

代码：