模线性方程&&中国剩余定理及拓展

一、求解模线性方程

由ax=b(mod n)

可知ax = ny + b

就相当于ax + ny = b

由扩展欧几里得算法可知有解条件为gcd(a, n)整除d

可以直接套用扩展欧几里得算法

最终由d个不同解时在模n下有d个不同的数字

二、中国剩余定理

证明可看：https://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5918158.html

ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
//求解ax+by=gcd(a, b)
//返回值为gcd(a, b)
{
    ll d = a;
    if(b)
    {
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else x = 1, y = 0;
    return d;
}
ll solve(ll a[], ll m[], int n)//a数组是余数，m数组是两两互质的数字
{
    ll M = 1, ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)M *= m[i];
    //cout<<M<<endl;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        ll mi = M / m[i], x, y;
        extgcd(mi, m[i], x, y);
        //求出mi模上m[i]的逆元x  mi * x + m[i] * y = gcd(mi, m[i]) = 1(两两互质)
        ans = ans + ((a[i] % M) * (mi % M) % M) * (x % M) % M;
        ans = (ans % M + M) % M;
    }
    return ans;
}

三、中国剩余定理扩展---求解一般的模线性方程组

　　普通的中国剩余定理要求所有的互素，那么如果不互素呢，怎么求解同余方程组？

　　这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程：

　　那么得到：

　　我们需要求出一个最小的xx使它满足：

在代码中，每次求出m0 * x + m[i] * y = a[i] - a0的解x的时候，对x模上m[i]，这是为了保证x绝对值较小，防止之后的乘法溢出，

x的通解就是x + k * m[i] / gcd(m0, m[i])，此处模上m[i] / gcd(m0, m[i])更好

ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
//求解ax+by=gcd(a, b)
//返回值为gcd(a, b)
{
    ll d = a;
    if(b)
    {
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else x = 1, y = 0;
    return d;
}
ll solve(ll a[], ll m[], int n)//a数组是余数，m数组是除数
{
    ll m0 = m[0], a0 = a[0];
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        ll x, y;
        ll g = extgcd(m0, m[i], x, y);//求出m0 * x + m[i] * y = gcd(x, y)
        if((a[i] - a0) % g)return -1;
        x = x * (a[i] - a0) / g % m[i];  
        //求出m0 * x + m[i] * y = a[i] - a0的解x
        //此处模上m[i]是为了取绝对值最小的一个x，因为x的通解就是x+k*m[i]
        ll K = x * m0 + a0;     //代回原式，求出最大的K
        m0 = m0 / g * m[i];     //m0更新为m0和m[i]的lcm
        a0 = K;                 //a0更新为K
        a0 = ((a0 % m0) + m0) % m0;
    }
    return a0;
}