堆排序算法详解

1、堆排序概述

堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。

2、堆排序思想（大根堆）

1）先将初始文件Array[1...n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区。

2） 再将关键字最大的记录Array[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录Array[n]交换，由此得到新的无序区Array[1..n-1]和有序区Array[n]，且满足Array[1..n-1].keys≤Array[n].key。

3）由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。这样直到无序区中剩余一个元素为止。

3、堆排序的基本操作

1）建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处一直调用调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 其中h表示节点的深度，len/2表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的O(n)。

2）调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到，而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i)，选出三者最大者，如果最大值不是节点i而是它的一个孩子节点，那边交互节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是lgn的操作，因为是沿着深度方向进行调整的。

3）堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换)，将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)（调用一次）；调整堆的时间复杂度是lgn，调用了n-1次，所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)

4、堆排序的实现（java）

package com.arithmetic.demo;

public class HeapSort {
    //交换元素
    public static void exchange(int[] array,int i,int j)
    {
        int temp = array[i];
        array[i] = array[j];
        array[j] = temp;        
    }
    //获得父节点
    public static int parentNode(int i)
    {
        return (i - 1)/2;
    }
    //获得左节点
    public static int leftNode(int i)
    {
        return 2*i + 1;
    }
    //获得右节点
    public static int rightNode(int i)
    {
        return 2*i + 2;
    }
    //最大堆
    public static void maxHeap(int[] array,int heapSize,int index)
    {
        int left = leftNode(index);
        int right = rightNode(index);
        int largeNode = index;
        if(left < heapSize && array[left] > array[largeNode])
        {
            largeNode = left;
        }
        if(right < heapSize && array[right] > array[largeNode])
        {
            largeNode = right;
        }
        if(index != largeNode)
        {
            exchange(array, index, largeNode);
            maxHeap(array,heapSize,largeNode);
        }
    }
    public static void buildHeap(int[] array)
    {
        if(array == null || array.length <= 1){
            return;
        }
        int half = array.length/2;
        for(int i=half;i>=0;i--)
        {
            maxHeap(array,array.length,i);
        }
    }
    public static void heapSort(int[] array)
    {
        if(array == null || array.length <= 1)
        {
            return;
        }
        buildHeap(array);
        for(int i=array.length -1;i>=1;i--)
        {            
            exchange(array,0,i);
            maxHeap(array,i,0);
        }
    }
    public static void printHeapTree(int[] array)
    {
        for(int i=1;i<=array.length;i=i*2)
        {
            for(int k=i-1;k<2*i-1 && k<array.length;k++)
            {
                System.out.print(array[k]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
    public static void printHeap(int[] array)
    {
        for(int i=0;i<array.length;i++)
        {
            System.out.print(array[i]+" ");
        }
    }
    public static void main(String[] args)
    {
        int[] array = {7,4,5,3,2,6,9,1};
        System.out.println("执行最大堆化前，堆结构：");
        printHeapTree(array);
        
        buildHeap(array);
        
        System.out.println("执行最大堆化后，堆结构：");
        printHeapTree(array);
        
        heapSort(array);
        
        System.out.println("堆排序结果：");
        printHeap(array);
    }

}

5、算法分析

堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成，它们均是通过调用buildHeap实现的。它是不稳定的排序方法。平均性能：O(N*logN)。