【转载】人工智能必备数学知识

数学基础知识

数据科学需要一定的数学基础，但仅仅做应用的话，如果时间不多，不用学太深，了解基本公式即可，遇到问题再查吧。

下面是常见的一些数学基础概念，建议大家收藏后再仔细阅读，遇到不懂的概念可以直接在这里查~

高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

(f'({{x}_{0}})=underset{Delta x o 0}{mathop{lim }}\,frac{f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})}{Delta x}) （1）

或者：

(f'({{x}_{0}})=underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}) （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数(f(x))在(x_0)处的左、右导数分别定义为：

左导数：({{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=underset{Delta x o {{0}^{-}}}{mathop{lim }}\,frac{f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})}{Delta x}=underset{x o x_{0}^{-}}{mathop{lim }}\,frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+Delta x))

右导数：({{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=underset{Delta x o {{0}^{+}}}{mathop{lim }}\,frac{f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})}{Delta x}=underset{x o x_{0}^{+}}{mathop{lim }}\,frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}})

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数(f(x))在(x_0)处可微(Leftrightarrow f(x))在(x_0)处可导

Th2: 若函数在点(x_0)处可导，则(y=f(x))在点(x_0)处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: ({f}'({{x}_{0}}))存在(Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}}))

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : (y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}}))
法线方程：(y-{{y}_{0}}=-frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}}) e 0)

5.四则运算法则
设函数(u=u(x)，v=v(x))]在点(x)可导则
(1) ((upm v{)}'={u}'pm {v}') (d(upm v)=dupm dv)
(2)((uv{)}'=u{v}'+v{u}') (d(uv)=udv+vdu)
(3) ((frac{u}{v}{)}'=frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v e 0)) (d(frac{u}{v})=frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}})

6.基本导数与微分表
(1) (y=c)（常数） ({y}'=0) (dy=0)
(2) (y={{x}^{alpha }})((alpha)为实数) ({y}'=alpha {{x}^{alpha -1}}) (dy=alpha {{x}^{alpha -1}}dx)
(3) (y={{a}^{x}}) ({y}'={{a}^{x}}ln a) (dy={{a}^{x}}ln adx)
特例: (({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}) (d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx)

(4) (y={{log }_{a}}x) ({y}'=frac{1}{xln a})

(dy=frac{1}{xln a}dx)
特例:(y=ln x) ((ln x{)}'=frac{1}{x}) (d(ln x)=frac{1}{x}dx)

(5) (y=sin x)

({y}'=cos x) (d(sin x)=cos xdx)

(6) (y=cos x)

({y}'=-sin x) (d(cos x)=-sin xdx)

(7) (y= an x)

({y}'=frac{1}{{{cos }^{2}}x}={{sec }^{2}}x) (d( an x)={{sec }^{2}}xdx)
(8) (y=cot x) ({y}'=-frac{1}{{{sin }^{2}}x}=-{{csc }^{2}}x) (d(cot x)=-{{csc }^{2}}xdx)
(9) (y=sec x) ({y}'=sec x an x)

(d(sec x)=sec x an xdx)
(10) (y=csc x) ({y}'=-csc xcot x)

(d(csc x)=-csc xcot xdx)
(11) (y=arcsin x)

({y}'=frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}})

(d(arcsin x)=frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx)
(12) (y=arccos x)

({y}'=-frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}) (d(arccos x)=-frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx)

(13) (y=arctan x)

({y}'=frac{1}{1+{{x}^{2}}}) (d(arctan x)=frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx)

(14) (y=operatorname{arc}cot x)

({y}'=-frac{1}{1+{{x}^{2}}})

(d(operatorname{arc}cot x)=-frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx)
(15) (y=shx)

({y}'=chx) (d(shx)=chxdx)

(16) (y=chx)

({y}'=shx) (d(chx)=shxdx)

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设(y=f(x))在点(x)的某邻域内单调连续，在点(x)处可导且({f}'(x) e 0)，则其反函数在点(x)所对应的(y)处可导，并且有(frac{dy}{dx}=frac{1}{frac{dx}{dy}})
(2) 复合函数的运算法则:若 (mu =varphi(x)) 在点(x)可导,而(y=f(mu))在对应点(mu)((mu =varphi (x)))可导,则复合函数(y=f(varphi (x)))在点(x)可导,且({y}'={f}'(mu )cdot {varphi }'(x))
(3) 隐函数导数(frac{dy}{dx})的求法一般有三种方法：
1)方程两边对(x)求导，要记住(y)是(x)的函数，则(y)的函数是(x)的复合函数.例如(frac{1}{y})，({{y}^{2}})，(ln y)，({{{e}}^{y}})等均是(x)的复合函数.
对(x)求导应按复合函数连锁法则做.
2)公式法.由(F(x,y)=0)知 (frac{dy}{dx}=-frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}),其中，({{{F}'}_{x}}(x,y))，
({{{F}'}_{y}}(x,y))分别表示(F(x,y))对(x)和(y)的偏导数
3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1）(({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{ln }^{n}}aquad (a>{0})quad quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}})
（2）((sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}sin (kx+ncdot frac{pi }{{2}}))
（3）((cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}cos (kx+ncdot frac{pi }{{2}}))
（4）(({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)cdots (m-n+1){{x}^{m-n}})
（5）((ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}})
（6）莱布尼兹公式：若(u(x)\,,v(x))均(n)阶可导，则
({{(uv)}^{(n)}}=sumlimits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}})，其中({{u}^{({0})}}=u)，({{v}^{({0})}}=v)

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数(f(x))满足条件：
(1)函数(f(x))在({{x}_{0}})的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
(f(x)le f({{x}_{0}}))或(f(x)ge f({{x}_{0}})),

(2) (f(x))在({{x}_{0}})处可导,则有 ({f}'({{x}_{0}})=0)

Th2:(罗尔定理)

设函数(f(x))满足条件：
(1)在闭区间([a,b])上连续；

(2)在((a,b))内可导；

(3)(f(a)=f(b))；

则在((a,b))内一存在个$xi $，使 ({f}'(xi )=0)
Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数(f(x))满足条件：
(1)在([a,b])上连续；

(2)在((a,b))内可导；

则在((a,b))内一存在个$xi $，使 (frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(xi ))

Th4: (柯西中值定理)

设函数(f(x))，(g(x))满足条件：
(1) 在([a,b])上连续；

(2) 在((a,b))内可导且({f}'(x))，({g}'(x))均存在，且({g}'(x) e 0)

则在((a,b))内存在一个$xi $，使 (frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=frac{{f}'(xi )}{{g}'(xi )})

10.洛必达法则
法则Ⅰ ((frac{0}{0})型)
设函数(fleft( x ight),gleft( x ight))满足条件：
(underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,fleft( x ight)=0,underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,gleft( x ight)=0);

(fleft( x ight),gleft( x ight))在({{x}_{0}})的邻域内可导，(在({{x}_{0}})处可除外)且({g}'left( x ight) e 0);

(underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)})存在(或$infty $)。

则:
(underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{fleft( x ight)}{gleft( x ight)}=underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)})。
法则({{I}'}) ((frac{0}{0})型)设函数(fleft( x ight),gleft( x ight))满足条件：
(underset{x o infty }{mathop{lim }}\,fleft( x ight)=0,underset{x o infty }{mathop{lim }}\,gleft( x ight)=0);

存在一个(X>0),当(left| x ight|>X)时,(fleft( x ight),gleft( x ight))可导,且({g}'left( x ight) e 0);(underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)})存在(或$infty $)。

则(underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{fleft( x ight)}{gleft( x ight)}=underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)})
法则Ⅱ( (frac{infty }{infty }) 型) 设函数 (fleft( x ight),gleft( x ight)) 满足条件：
(underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,fleft( x ight)=infty,underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,gleft( x ight)=infty);
(fleft( x ight),gleft( x ight)) 在 ({{x}_{0}}) 的邻域内可导(在({{x}_{0}})处可除外)且({g}'left( x ight) e 0);(underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)}) 存在(或$infty ()。 则)(underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{fleft( x ight)}{gleft( x ight)}=underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)})$ 同理法则({I{I}'}) ( (frac{infty }{infty }) 型)仿法则 ({{I}'}) 可写出。

11.泰勒公式

设函数(f(x))在点({{x}_{0}})处的某邻域内具有(n+1)阶导数，则对该邻域内异于({{x}_{0}})的任意点(x)，在({{x}_{0}})与(x)之间至少存在
一个(xi)，使得：
(f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+cdots)
(+frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x))
其中 ({{R}_{n}}(x)=frac{{{f}^{(n+1)}}(xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}})称为(f(x))在点({{x}_{0}})处的(n)阶泰勒余项。

令({{x}_{0}}=0)，则(n)阶泰勒公式
(f(x)=f(0)+{f}'(0)x+frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+cdots +frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x))……(1)
其中 ({{R}_{n}}(x)=frac{{{f}^{(n+1)}}(xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}})，$xi (在0与)x$之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在({{x}_{0}}=0)处的泰勒公式

(1) ({{{e}}^{x}}=1+x+frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{1}{n!}{{x}^{n}}+frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{xi }})

或 (=1+x+frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}}))

(2) (sin x=x-frac{1}{3!}{{x}^{3}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}sin frac{npi }{2}+frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}sin (xi +frac{n+1}{2}pi ))

或 (=x-frac{1}{3!}{{x}^{3}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}sin frac{npi }{2}+o({{x}^{n}}))

(3) (cos x=1-frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}cos frac{npi }{2}+frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}cos (xi +frac{n+1}{2}pi ))

或 (=1-frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}cos frac{npi }{2}+o({{x}^{n}}))

(4) (ln (1+x)=x-frac{1}{2}{{x}^{2}}+frac{1}{3}{{x}^{3}}-cdots +{{(-1)}^{n-1}}frac{{{x}^{n}}}{n}+frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+xi )}^{n+1}}})

或 (=x-frac{1}{2}{{x}^{2}}+frac{1}{3}{{x}^{3}}-cdots +{{(-1)}^{n-1}}frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}}))

(5) ({{(1+x)}^{m}}=1+mx+frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{m(m-1)cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}})
(+frac{m(m-1)cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+xi )}^{m-n-1}})

或({{(1+x)}^{m}}=1+mx+frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+cdots) ，(+frac{m(m-1)cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}}))

12.函数单调性的判断
Th1: 设函数(f(x))在((a,b))区间内可导，如果对(forall xin (a,b))，都有(f\,'(x)>0)（或(f\,'(x)<0)），则函数(f(x))在((a,b))内是单调增加的（或单调减少）

Th2: （取极值的必要条件）设函数(f(x))在({{x}_{0}})处可导，且在({{x}_{0}})处取极值，则(f\,'({{x}_{0}})=0)。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数(f(x))在({{x}_{0}})的某一邻域内可微，且(f\,'({{x}_{0}})=0)（或(f(x))在({{x}_{0}})处连续，但(f\,'({{x}_{0}}))不存在。）
(1)若当(x)经过({{x}_{0}})时，(f\,'(x))由“+”变“-”，则(f({{x}_{0}}))为极大值；
(2)若当(x)经过({{x}_{0}})时，(f\,'(x))由“-”变“+”，则(f({{x}_{0}}))为极小值；
(3)若(f\,'(x))经过(x={{x}_{0}})的两侧不变号，则(f({{x}_{0}}))不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设(f(x))在点({{x}_{0}})处有(f''(x) e 0)，且(f\,'({{x}_{0}})=0)，则 当(f'\,'({{x}_{0}})<0)时，(f({{x}_{0}}))为极大值；
当(f'\,'({{x}_{0}})>0)时，(f({{x}_{0}}))为极小值。
注：如果(f'\,'({{x}_{0}})<0)，此方法失效。

13.渐近线的求法
(1)水平渐近线 若(underset{x o +infty }{mathop{lim }}\,f(x)=b)，或(underset{x o -infty }{mathop{lim }}\,f(x)=b)，则

(y=b)称为函数(y=f(x))的水平渐近线。

(2)铅直渐近线 若$$underset{x o x_{0}^{-}}{mathop{lim }},f(x)=infty$$，或$$underset{x o x_{0}^{+}}{mathop{lim }},f(x)=infty$$，则

(x={{x}_{0}})称为(y=f(x))的铅直渐近线。

(3)斜渐近线 若(a=underset{x o infty }{mathop{lim }}\,frac{f(x)}{x},quad b=underset{x o infty }{mathop{lim }}\,[f(x)-ax])，则
(y=ax+b)称为(y=f(x))的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断
Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上(f''(x)<0)（或(f''(x)>0)），则(f(x))在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理1)若在({{x}_{0}})处(f''(x)=0)，（或(f''(x))不存在），当(x)变动经过({{x}_{0}})时，(f''(x))变号，则(({{x}_{0}},f({{x}_{0}})))为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设(f(x))在({{x}_{0}})点的某邻域内有三阶导数，且(f''(x)=0)，(f'''(x) e 0)，则(({{x}_{0}},f({{x}_{0}})))为拐点。

15.弧微分

(dS=sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx)

16.曲率

曲线(y=f(x))在点((x,y))处的曲率(k=frac{left| y'' ight|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{ frac{3}{2}}}})。
对于参数方程(left{ egin{align} & x=varphi (t) \ & y=psi (t) \ end{align} ight.,)
(k=frac{left| varphi '(t)psi ''(t)-varphi ''(t)psi '(t) ight|}{{{[varphi {{'}^{2}}(t)+psi {{'}^{2}}(t)]}^{ frac{3}{2}}}})。

17.曲率半径

曲线在点(M)处的曲率(k(k e 0))与曲线在点(M)处的曲率半径( ho)有如下关系：( ho =frac{1}{k})。