洛谷 P1967
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1967
JDOJ 2228
https://neooj.com/oldoj/problem.php?id=2228
题目描述
AA国有nn座城市，编号从 11到nn，城市之间有 mm 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有 qq 辆货车在运输货物， 司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。
输入输出格式
输入格式：
第一行有两个用一个空格隔开的整数n,mn,m，表示 AA 国有nn 座城市和 mm 条道路。
接下来 mm行每行33个整数 x, y, zx,y,z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 xx号城市到yy号城市有一条限重为 zz的道路。注意： xx 不等于 yy，两座城市之间可能有多条道路 。
接下来一行有一个整数 q，表示有 q 辆货车需要运货。
接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市，注意：x 不等于 y 。
输出格式：
共有 qq 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地，输出-1−1。
输入输出样例
说明
对于 30\%30%的数据，0 < n < 1,000,0 < m < 10,000,0 < q< 1,0000<n<1,000,0<m<10,000,0<q<1,000；
对于 60\%60%的数据，0 < n < 1,000,0 < m < 50,000,0 < q< 1,0000<n<1,000,0<m<50,000,0<q<1,000；
对于 100\%100%的数据，0 < n < 10,000,0 < m < 50,000,0 < q< 30,000,0 ≤ z ≤ 100,0000<n<10,000,0<m<50,000,0<q<30,000,0≤z≤100,000。
这道题其实比较复杂，但是题面比较简单，大家千万不要被迷惑掉，以为这道题就是单纯的最长路，但是其实这道题考的是LCA
为什么是LCA呢？
首先，两点间的最长距离一定存在于图的最大生成树上，而我们要求两点间最长路的最小值，但是两个节点想要互相到达，一定要通过他们共同的祖先，针对于这道题，就是要求被询问两点的最近公共祖先。
首先LCA是基于有根树上的概念，所以我们首先想到的应该是初始图的最大生成树，个人不推荐使用prim算法，不太好写，kruskal算法是较优选择，我们可以通过写kruskal求出原图最大生成树，然后再次存储其最大生成树，在树上跑LCA,期间维护两点之间的路径，最后就可以出解。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define INF 999999999 using namespace std; int n,m,q,tot,cnt; int fa[10001],head[10001],f[10001][21],w[10001][21],v[10001],deep[10001]; struct node { int x,y,z; }e[100001]; struct tree { int to,nxt,val; }t[100001]; bool cmp(node a,node b) { return a.z>b.z; } int find(int x) { if(fa[x]==x) return x; return fa[x]=find(fa[x]); } void add(int x,int y,int z) { t[++tot].to=y; t[tot].val=z; t[tot].nxt=head[x]; head[x]=tot; } void dfs(int x) { v[x]=1; for(int i=head[x];i;i=t[i].nxt) { int y=t[i].to; if(v[y]==1) continue; deep[y]=deep[x]+1; f[y][0]=x; w[y][0]=t[i].val; dfs(y); } } int lca(int x,int y) { if(find(x)!=find(y)) return -1; int ans=INF; if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y); for(int i=20;i>=0;i--) if(deep[f[y][i]]>=deep[x]) { ans=min(ans,w[y][i]); y=f[y][i]; } if(x==y) return ans; for(int i=20;i>=0;i--) if(f[x][i]!=f[y][i]) { ans=min(ans,min(w[x][i],w[y][i])); x=f[x][i]; y=f[y][i]; } return ans=min(ans,min(w[x][0],w[y][0])); } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); e[i].x=x; e[i].y=y; e[i].z=z; } sort(e+1,e+m+1,cmp); for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++) { int fx=find(e[i].x); int fy=find(e[i].y); if(fx!=fy) { add(e[i].x,e[i].y,e[i].z); add(e[i].y,e[i].x,e[i].z); fa[fx]=fy; } } for(int i=1;i<=n;i++) if(v[i]==0) { deep[i]=1; dfs(i); } for(int i=1;i<=20;i++) for(int j=1;j<=n;j++) { f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1]; w[j][i]=min(w[j][i-1],w[f[j][i-1]][i-1]); } scanf("%d",&q); for(int i=1;i<=q;i++) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); printf("%d ",lca(x,y)); } return 0; }
先上代码。
这里还有一个知识点，是倍增法求LCA的方式。
求LCA有三种方式，朴素算法（也叫爬一爬），倍增优化版算法（朴素的优化，使用并查集维护），还有离线TARJAN算法。这几种算法我也不敢说完全能写对（逃，这道题也出现了很多细节上和理解上的失误，希望大家能够借鉴改正。
deep[i]表示i节点的深度，f[i][j]表示节点i的2的j次方辈的祖先，那么根据这个定义，我们可以推出一个式子：f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
请自行画图理解。
然后我们预处理求出每个节点的2的k次方辈的祖先。然后就可以在LCA函数里由原先的爬一爬，一步一步走变成一次走好多步，其实原理没有变，所以只是说它是朴素算法的一个优化。
这里有一个问题，f数组的第二维要开多大？这个涉及到对数运算，初三表示不会（逃
不过我知道需要自己写程序输出一下(int)(log(n))/log(2);
原理不会
然后我们需要在深搜（预处理）完毕之后才能初始化f数组
然后附上一份裸的倍增LCA模板，一些细节问题已经在代码中标志。
int lca(int x,int y) { int re; if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y); //常规处理 for(int i=16;i>=0;i--) //从大到小处理 if( deep[ fa[x][i] ] >= deep[y] ) x=fa[x][i]; if(x==y) return x; //这句话是不能省的，否则返回的re是没有值的。 for(int i=16;i>=0;i--) if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; else re=fa[x][i]; return re; }
报告完毕。