heap的定义:如果数组a[1,....n]满足:a[i]>a[2*i] && a[i]>a[2*i+1],1<=i<=n/2,那么就是一个heap,而且是max-heap
heap有两种,max-heap 和 min-heap,其中min-heap的性质与上面所述相反,即 a[i]<a[2*i] && a[i]<a[2*i+1].
这里以max-heap为例说明heap的三种基本操作,即Max-Heap-Maintenance, Build-Max-Heap, HeapSort.
1. Max-Heap-Maintenance
input:数组A和下标indice(i) output:维护以 i 为根的子树的max-heap性质。
Max-Heap-Maintenance的伪代码如下:
以一个例图来解释上述程序的运行过程:
a) 图为heap的初始状态,现在执行程序Max-Heap-Maintenance(A,2)。node 2的值为4,比左孩子值14小,所以把A[2] 和 A[4]进行交换,这里虽然右孩子值为7,也比A[2]要大,但我们要找两个孩子中值最大的孩子,并且将父节点和它交换。交换完毕后,从被交换的孩子节点的位置出发,图中是A[4],见图b),然后在该节点上重复上述操作,直至该节点是叶子节点,如图C),则终止程序。
2. Build-Max-Heap
因为每进行一次Max-Heap-Maintenance(i)操作,实际上都是建立以 i 为根节点的最大heap的一棵子树。所以我们自底向上建立最大heap,只有这样才能保证建立的heap具有max-heap性质。
3. Heap-Sort
首先先建立max-heap,但我们仍不能够根据max-heap得到排序结果,因为max-heap只能保证根节点值大于孩子节点的值,并没有孩子节点之间的大小关系比较。具体做法看伪代码+样例分析图。
最后贴上C++实现代码:
1 #include<iostream>
2 #include<algorithm>
3 using namespace std;
4 int a[101];
5 int array_size,heap_size;
6 int left(int i){
7 return 2*i;
8 }
9 int right(int i){
10 return 2*i+1;
11 }
12 void Max_Heap_Maintenance(int i){
13 int l, r, largest=-1;
14 l=left(i);
15 r=right(i);
16 if(l>heap_size||r>heap_size) return;
17 if(l<=heap_size&&a[l]>a[i]){
18 largest=l;
19 }
20 else largest=i;
21 if(r<=heap_size&&a[r]>a[largest]){
22 largest=r;
23 }
24 if(largest!=i){
25 int tmp=a[largest];
26 a[largest]=a[i];
27 a[i]=tmp;
28 Max_Heap_Maintenance(largest);
29 }
30 }
31 void Build_Max_Heap(){
32 heap_size=array_size;
33 for(int i=array_size/2;i>=1;i--){
34 Max_Heap_Maintenance(i);
35 }
36 }
37 void Heap_Sort(){
38 Build_Max_Heap();
39 for(int i=array_size;i>=2;i--){
40 int tmp=a[i];
41 a[i]=a[1];
42 a[1]=tmp;
43 heap_size--;
44 Max_Heap_Maintenance(1);
45 }
46 int tmp=a[2];
47 a[2]=a[1];
48 a[1]=tmp;
49 }
50 int main(){
51 while(scanf("%d",&array_size)!=EOF){
52 for(int i=1;i<=array_size;i++){
53 scanf("%d",&a[i]);
54 }
55 Heap_Sort();
56 for(int i=1;i<=array_size;i++){
57 printf("%d ",a[i]);
58 }printf("
");
59 }
60 return 0;
61 }