n阶汉诺塔问题（Hanoi）

问题描述

---

• 假设有3个分别命名为X、Y、Z的塔座
• 在塔座X上插有n个直径大小各不相同、依小到大编号为1，2，...，n的圆盘。
• 现要求将X轴上的n个圆盘移至塔座Z上并仍按同样顺序叠排
• 圆盘移动时必须遵循下列规则：
  1. 每次只能移动一个圆盘
  2. 圆盘可以插在X、Y、Z中的任一塔座上
  3. 任何时刻都不能将一个较大的圆盘压在较小的圆盘之上

算法思想

---

• 当n=1时
  • 问题比较简单，只要将编号为1的圆盘从塔座X直接移至塔座Z上即可；
• 当n>1时
  • 需利用塔座Y作辅助塔座，若能设法将压在编号为n的盘之上的n-1个圆盘从塔座X移至塔座Y上
  • 然后将编号为n的圆盘从塔座X移至塔座Z上
  • 最后再将塔座Y上的n-1个圆盘移至塔座Z上
  • 而将n-1个圆盘移至塔座Z上又相当于一个新的汉诺塔问题，这一次是以X为辅助塔座
  • 循环往复，总是以X和Y这两个为辅助塔座
• 简言之（参考链接）
  • 首先以Z为辅助塔座将n-1个圆盘移动Y
  • 将编号为n的圆盘移至塔座Z
  • 再将剩余的n-1个圆盘移至塔座Z

C语言伪代码表示的算法

---

void hanoi(int n, char x, char y, char z){
    // 将塔座x上按直径由小到大且自上而下编号为1至n的n个圆盘按规则搬到
    // 塔座z上，y可用作辅助塔座
    // 搬动操作move(x, n, z)可定义为（c是初值为0的全局变量，对搬动计数）：
    // printf("%i. Move disk % i from %c to %c\n", ++c, n, x, z);
    if(n == 1)
        move(x, 1, z);              // 将编号为1的圆盘从x移到z
    else{
        hanoi(n-1, x, z, y);        // 将x上编号为1至n-1的圆盘移到y, z作辅助塔
        move(x, n, z);              // 将编号为n的圆盘从x移到z
        hanoi(n-1, y, x, z);        // 将y上编号为1至n-1的圆盘移到z, x作辅助塔
    }
}

Java

---

• 源码

/**
 * 汉诺塔算法实现
 * @param n 圆盘的数量
 * @param x X塔座
 * @param y Y塔座
 * @param z Z塔座
 */
public void hanoi (int n, char x, char y, char z) {
    if (1 == n) {
        move(x, 1, z);
    } else {
        hanoi(n-1, x, z, y);
        move(x, n, z);
        hanoi(n-1, y, x, z);
    }
}

/**
 * 打印出移动过程
 * @param x X塔座
 * @param n Y塔座
 * @param z Z塔座
 */
public static final void move (char x, int n, char z) {
    System.out.println("将编号为" + n + "的圆盘从" + x + "塔座放到" + z + "塔座");
}

• 测试用例

@Test
public void testHanoi () {
    hanoi (3, 'X', 'Y', 'Z');
}

• 测试结果

将编号为1的圆盘从X塔座放到Z塔座
将编号为2的圆盘从X塔座放到Y塔座
将编号为1的圆盘从Z塔座放到Y塔座
将编号为3的圆盘从X塔座放到Z塔座
将编号为1的圆盘从Y塔座放到X塔座
将编号为2的圆盘从Y塔座放到Z塔座
将编号为1的圆盘从X塔座放到Z塔座

Python

---

• 源码

def move(n, a, b, c):
	if n == 1:
		print a, '-->', c
	else:
		move(n-1, a, c, b)
		print a, '-->', c
		move(n-1, b, a, c)

• 测试用例

move(3, 'A', 'B', 'C')

• 测试结果

A --> C
A --> B
C --> B
A --> C
B --> A
B --> C
A --> C